嘿，这个想法挺有意思的——你其实是在琢磨能不能给实数系统扩展出一种“无穷小”元素，类似我们熟悉的∞（虽然∞不是实数，但作为扩展概念用得很多）。咱们一步步来聊你的问题：

首先，你提到的这种“紧邻0的特殊数”，数学里早就有相关的成熟研究方向了，最经典的就是非标准分析（Non-standard Analysis）。在这个框架里，我们引入了“无穷小量”（infinitesimals）——它们是大于0但小于任何正实数的元素，和你定义的j有不少相似之处。不过非标准分析里的无穷小量是在一套严谨的公理体系下存在的，它们和实数一起构成了“超实数”（hyperreal numbers）系统，在这个系统里你能直观地用无穷小做微积分，很多原本需要ε-δ语言描述的极限操作，都能转化为更直观的代数运算。

再看你给j定的几条规则，咱们来拆解一下其中的细节和可能的矛盾点：

• 第一条 j/x = j（x>1）：如果两边同乘x，会得到 j = j*x，也就是 j*(x-1)=0。因为x>1，所以x-1是正实数，在标准实数系统里，这个等式只有j=0时成立，但如果j是超实数里的无穷小，无穷小乘以非零实数还是无穷小，但不会等于原来的无穷小（而是成比例缩小），所以这条规则和超实数的性质不吻合，不过如果你自己定义一套新的运算规则，只要自洽也不是不行，但得先解决逻辑冲突。
• 第二条 j/x = 0（x=0）：这里要注意，除以0在任何严谨的数系里都是不被允许的，哪怕是扩展数系，这条规则会直接导致逻辑矛盾，所以没法纳入任何自洽的体系中。
• 第三条 x/∞ = j（x>0）：这点和超实数的性质是吻合的——正实数除以无穷大元素确实会得到无穷小量，不过这里的∞是超实数里的具体无穷大元素，不是我们平时说的“趋向无穷”的符号。

至于怎么证明这种元素的存在或不存在：

• 在标准实数系统里，根据实数的稠密性——任意两个不同的实数之间必然存在另一个实数——所以不可能有“紧邻0的数”。假设存在j>0是紧邻0的数，那j/2就是介于0和j之间的数，这就直接矛盾了，所以标准实数里绝对不存在这样的元素。
• 但如果我们扩展实数系统，比如超实数，通过模型论里的紧致性定理可以严格证明超实数系统是存在的，里面就包含无穷小元素。这种扩展并没有破坏实数的核心性质，超实数包含所有实数，并且满足实数的所有一阶公理，只是额外加入了无穷小和无穷大元素。

你提到“哪怕调整规则能不能证明存在”——其实只要你的规则之间没有逻辑矛盾，并且能和你想要构建的数系的公理体系兼容（或者你重新定义一套自洽的公理），这样的系统是可以存在的。非标准分析就是最好的例子，它的公理体系是自洽的，所以超实数在模型论的意义上是严格存在的。

如果这个方向让你感兴趣，建议从非标准分析的基础内容入手，看看超实数的构造和基本性质，应该能解答你大部分的疑惑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gonerogue