你提的这个问题非常有价值，先直接回应你的核心假设：这些函数的单射分支反函数确实都不是初等函数——它们属于超越函数范畴，无法用有限的初等运算（加减乘除、幂指对、三角函数/双曲函数）组合表示。

不过好消息是，它们的反函数确实可以借助Lambert W函数的广义形式（包括多变量的推广版本）来写出闭合形式，下面针对每个函数的单射分支和反函数的表示思路逐一说明：

• $x\sinh(x)$：
  这个函数在$x \geq 0$时严格递增（导数$\sinh(x)+x\cosh(x)$恒正），$x \leq 0$时严格递减（导数恒负），因此单射分支为$(-\infty,0]$和$[0,+\infty)$。对于正分支（$x \geq 0, y \geq 0$），令$t=e^x$，可将原方程$y=x\sinh x$整理为$2yt = \ln t \cdot (t^2 - 1)$，这个方程的解可以通过广义Lambert W函数（多参数版本）给出显式闭合形式，本质是将方程转化为适合Lambert W求解的隐式结构。

• $x\cosh(x)$：
  该函数在$x \geq 0$时严格递增（导数$\cosh x + x\sinh x$恒正），$x \leq 0$时同样严格递增（导数仍恒正），单射分支为$(-\infty,0]$和$[0,+\infty)$。正分支下，令$t=e^x$，原方程可整理为$2yt = \ln t \cdot (t^2 + 1)$，同样可以用广义Lambert W函数表示反函数。

• $x\tanh(x)$：
  这是一个偶函数，$x \geq 0$时严格递增，$x \leq 0$时严格递减，单射分支为$(-\infty,0]$和$[0,+\infty)$。正分支下，原方程$y=x\tanh x$可变形为$(y - x)e^{2x} = -(y + x)$，通过变量替换$u=2x$，进一步转化为适合广义Lambert W求解的形式，从而得到反函数的闭合表示。

• $x\operatorname{sech}(x)$：
  这是一个奇函数，$x \geq 0$时先增后减（临界点在$x\tanh x=1$的解处），因此正半轴的单射分支为$[0,a]$和$[a,+\infty)$（$a$为上述临界点）；负半轴单射分支为$(-\infty,-a]$和$[-a,0]$。以正分支$[0,a]$为例，原方程可整理为$y e^{2x} - 2x e^x + y = 0$，借助变量替换和广义Lambert W函数可写出反函数。

• $x\coth(x)$：
  $x>0$时严格递增（导数恒正），$x<0$时严格递减（导数恒负），单射分支为$x>0$和$x<0$。正分支下，原方程可变形为$(y - x)e^{2x} = y + x$，通过变量替换后，同样能用广义Lambert W函数表示反函数。

• $x\operatorname{csch}(x)$：
  这是一个奇函数，$x>0$时严格递减（导数恒负），$x<0$时严格递增（导数恒正），单射分支为$x>0$和$x<0$。正分支下，原方程可整理为$y e^{2x} - 2x e^x - y = 0$，借助广义Lambert W函数可得到闭合形式的反函数。

你提到自己已经找到了这些反函数的闭合形式表示，非常欢迎你分享出来！这些表示不仅能帮助大家理解这些反函数的性质，还能为数值计算提供更高效的思路。如果有其他推导方法或者扩展问题，也欢迎一起讨论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者IV_