嗨，我来帮你一步步理清这些问题～

先解决你提到的小结论：到3元群的非零同态必是满射 #

首先，3是质数，所以3元群$A_3$是质数阶循环群（同构于$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$）。根据群论的基本结论：

• 质数阶群的子群只有两个：平凡的单位元群，以及群本身。

假设$\phi: G \to A_3$是一个非零群同态（也就是$\phi$不是把所有元素都映到单位元的映射），那么它的像$\text{Im}\phi$是$A_3$的一个非平凡子群（因为至少有一个元素被映到非单位元）。结合上面的结论，$\text{Im}\phi$只能是$A_3$本身，所以$\phi$是满射。这个小结论就证明啦。

核心问题：证明不存在$\psi: S_3 \to A_3$使得$\psi \circ f = 1_{A_3}$ #

这里给你两个直观的思路：

思路1：阶数与元素阶的矛盾分析 #

假设这样的$\psi$存在：

1. 因为$\psi \circ f = 1_{A_3}$，所以对于任意$a \in A_3$，$\psi(f(a))=a$，这说明$\psi$是满射（$A_3$的所有元素都在$\psi$的像里）。
2. 根据群同态基本定理，$S_3 / \ker\psi \cong A_3$，两边取阶数可得：$|S_3| / |\ker\psi| = |A_3|$，代入$|S_3|=6$，$|A_3|=3$，算出$|\ker\psi|=2$。
3. $S_3$的2阶子群是由单个对换生成的循环群（比如$\langle (12) \rangle$），但$S_3$里有3个不同的对换：$(12),(13),(23)$。
4. 现在看对换在$\psi$下的像：对任意对换$\sigma$，$\sigma^{2=e$（单位元），所以$\psi(\sigma)}2 = \psi(\sigma^2) = \psi(e)=e$。但$A_3$里的元素阶数只有1或3，没有2阶元素，所以$\psi(\sigma)$只能是单位元——这意味着所有3个对换都要在$\ker\psi$里，但$\ker\psi$的阶只有2，不可能容纳3个不同元素，矛盾！

因此这样的$\psi$不存在。

思路2：用分裂短正合序列的定理推导 #

你提到的定理给出了短正合序列分裂的等价条件，其中关键的一条是：

若短正合序列$1 \rightarrow K \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 1$左分裂，则$G \cong K \times H$。

放到你的例子里：

• $G=S_3$，$K=A_3$，$H=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
• 假设序列左分裂，那么$S_3$应该同构于$A_3 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。但$A_3$和$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$都是交换群，它们的直积也是交换群；而$S_3$是非交换群（比如$(12)(13)=(132)$，$(13)(12)=(123)$，两者不相等），显然不可能同构。

这就直接说明这个短正合序列不能左分裂，也就是不存在满足条件的$\psi$。

对定理的补充说明 #

这个定理的几个等价条件是在说：当短正合序列分裂时，群$G$可以分解成两个子群的直积，且这两个子群分别对应序列里的$K$和$H$。你的例子刚好是一个不满足分裂条件的反例：因为$S_3$无法分解成$A_3$和$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的直积（一个非交换一个交换），所以对应的短正合序列自然不存在左分裂的映射。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者weird