咱们先从线性方程组的场景切入吧——假设你有一个n元线性方程组，写成矩阵形式就是 Ax = b：这里的A就是系数矩阵，把常数项向量b直接拼在A的右侧得到的矩阵，就是增广系数矩阵，记为[A | b]。

首先说主行列式：它其实就是系数矩阵A的行列式，记作det(A)或者|A|，这玩意儿是判断方程组解的情况的核心指标：

• 如果主行列式det(A) ≠ 0，说明系数矩阵可逆，方程组有且仅有唯一解；
• 如果det(A) = 0，那方程组要么无解，要么有无穷多解，这时候就得对比增广矩阵和系数矩阵的秩来进一步判断了。

接下来就轮到克拉默法则登场，它恰好把主行列式和增广矩阵的作用绑定在了一起——只有当主行列式不为0（也就是方程组有唯一解）时，克拉默法则才适用。具体逻辑是这样的：
要求解某个未知数x_i，你需要从增广矩阵里提取出“替换列”：把增广矩阵中的常数项列（也就是最后一列），替换掉系数矩阵A的第i列，得到一个新的矩阵A_i，然后计算A_i的行列式det(A_i)，最后用det(A_i)/det(A)就能得到x_i的解。

举个二元方程组的例子，你一看就懂：

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

系数矩阵A是[[a₁, b₁], [a₂, b₂]]，主行列式|A| = a₁b₂ - a₂b₁；增广矩阵是[[a₁, b₁, c₁], [a₂, b₂, c₂]]。
根据克拉默法则：

• x的解 = |A₁| / |A|，其中A₁是把A的第一列换成常数项[c₁, c₂]，也就是增广矩阵去掉第二列后的子矩阵；
• y的解 = |A₂| / |A|，其中A₂是把A的第二列换成常数项[c₁, c₂]，对应增广矩阵去掉第一列后的子矩阵。

回到你的疑问：当然不能只提克拉默法则的公式，核心是要理解二者的关联逻辑——主行列式决定了方程组是否存在唯一解，而增广矩阵则提供了克拉默法则中“替换列”的来源，二者通过克拉默法则完成了从线性方程组到行列式求解的转化，最终给出唯一解的具体形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mary Star