我最近在琢磨这么一个问题：假设函数 ( f\colon(a,b)\to\mathbb R ) 在开区间 ( (a,b) ) 上可导，而且它的导函数 ( f' ) 在 ( (a,b) ) 上没有局部极值，那 ( f' ) 是不是一定是单调的呢？

如果先给 ( f' ) 加个连续的前提，那这个结论绝对成立。道理很简单：连续函数在任意闭子区间 ( [x_1,x_2]\subset(a,b) ) 上必然能取到全局最大值和最小值。但题目明确说 ( f' ) 没有局部极值，那这些最值就只能落在区间的端点 ( x_1 ) 和 ( x_2 ) 上——不然的话，中间某个点要是取到了最值，那它不就是局部极值了嘛，这就矛盾了。

由此可以推出，对任意满足 ( x_1 < x < x_2 ) 的点 ( x )，都有 ( \min{f'(x_1),f'(x_2)}\leq f'(x)\leq\max{f'(x_1),f'(x_2)} )。而这个性质其实和函数的单调性是等价的，所以连续导函数的情况完全没问题。

但麻烦就在于，导函数不一定是连续的啊！咱们学过导数介值定理，它只保证导函数具有介值性，可不保证连续性。这时候我就拿不准了：这种不连续的导函数，如果它没有局部极值，还能保证是单调的吗？我甚至都不确定，到底存不存在“没有局部极值的不连续导函数”这种东西。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者George Stobbart