问题梳理 #

我最近在研究单变量函数图像的凸包性质时，遇到了两个相关的疑问：

1. 给定函数 $f: X \to \mathbb{R}$（$X$ 是实数区间），定义其图像集合 $S = { (x,f(x))\vert x \in X }$。根据卡拉西奥多里定理，因为 $S \subset \mathbb{R}^2$，所以 $S$ 凸包内的任意点都能表示为 $S$ 中三个点的凸组合，但我直觉上觉得两个点就够了——是不是我漏掉了某些曲线的特殊形态？这和 $S$ 自身的“维度”有关吗？我感觉 $S$ 是“一维的”，但不知道怎么精确描述。
2. 在了解到凸包内部点可能需要三个点参与凸组合后，我转而关注凸包的上边界：令 $T(x) = \sup {y \vert (x,y)\in \text{co}{S}}$（$\sup$ 是上确界，$\text{co}$ 表示凸包），定义 $T={(x, T(x))\vert x \in X}$，也就是凸包的“上天花板”。那 $T$ 中的每一点都能表示为 $S$ 中两个点的凸组合吗？

问题解答 #

1. 初始疑问：凸包内所有点都能用两个点的凸组合表示吗？

答案是否定的，确实存在必须用三个点才能表示的凸包内部点。我给你举个直观的反例：
取 $X=[0,4]$，定义分段函数 $f(x)$：$f(0)=0$，$f(1)=2$，$f(2)=0$，$f(3)=2$，$f(4)=0$。它的图像是一个“W”形，凸包内部有个点 $(2,1)$——你可以试着用 $S$ 中任意两个点的凸组合去凑这个坐标，会发现根本做不到：

• 选两个峰值点 $(1,2)$ 和 $(3,2)$，凸组合的 $y$ 坐标始终是 $2$，达不到 $1$；
• 选峰值点和低谷点，比如 $(1,2)$ 和 $(2,0)$，凸组合的 $x$ 要等于 $2$ 的话，权重只能是 $1$（对应点 $(2,0)$），$y$ 坐标是 $0$；
• 选两端的低谷点 $(0,0)$ 和 $(4,0)$，凸组合的 $y$ 坐标始终是 $0$。

而这个点 $(2,1)$ 必须用三个点的凸组合才能表示：比如取 $(1,2)$、$(2,0)$、$(3,2)$，分别赋予权重 $1/4$、$1/2$、$1/4$，就能得到 $(2,1)$。

至于你提到的 $S$ 的维度：$S$ 作为单变量函数的图像，确实是 $\mathbb{R}^2$ 中的一维流形（如果 $f$ 连续的话），但它的凸包可能是二维的（当函数既不凸也不凹时）。卡拉西奥多里定理是基于整个空间的维度（这里是 $\mathbb{R}^2$，维度为2），所以最多需要3个点；而 $S$ 的一维性不限制凸包的维度，因此内部点可能需要3个点来表示。

2. 补充疑问：凸包上边界的点都能用两个点的凸组合表示吗？

这个答案是肯定的，原因如下：
凸包的上边界 $T$ 本身是一个凸函数的图像（凸包的上边界必然是凸的）。对于 $T$ 上的任意一点 $(x,T(x))$：

• 如果这个点本身就在 $S$ 上，那它可以看作是自身与自身的凸组合（退化的两点组合）；
• 如果这个点不在 $S$ 上，那它一定是 $S$ 中某两个点的连线的一部分——因为凸包的上边界是由 $S$ 中若干点的连线拼接而成的“上缘”，这些连线就是两个点的凸组合轨迹。

从凸集的性质来看，$\mathbb{R}^2$ 中凸集的边界点要么是该凸集的极点（也就是 $S$ 中不能被其他点凸组合表示的点，比如函数的局部极大值点、区间端点），要么是两个极点的凸组合。而 $T$ 上的点都属于凸包的边界，因此必然能表示为 $S$ 中两个点的凸组合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ypbor