嗨，我来帮你理清这个问题的核心点哈！

首先咱们得先明确几个关键概念，不然容易混淆：

关于传递函数的求解 #

传递函数的定义是零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，它描述的是系统本身的固有输入输出特性，和当前是否有初始条件、输入是不是零没关系。

你给出的方程是零输入（右侧为0）且带非零初始条件的情况，但要找这个系统的传递函数，咱们只需要把方程里的0替换成输入信号$u(t)$，还原成标准的二阶系统输入输出方程：
$$\ddot{y}+ 2ξω_n\dot y +2y = u(t)$$
然后在零初始条件下做拉普拉斯变换，就能得到传递函数：
$$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2 + 2\xi\omega_n s + 2}$$

关于阶跃响应的疑问 #

你说得没错！阶跃响应的定义是当输入为单位阶跃函数$u(t)$时，系统的输出响应（通常默认零初始条件）。而你当前的方程输入是0，只有非零初始条件$\dot y(0)=c$，这时候系统的响应叫做零输入响应，完全是由初始状态引起的，和阶跃响应不是一回事，自然没法从这个零输入方程直接算出阶跃响应。

如果要计算这个系统的阶跃响应，你需要让输入为单位阶跃$u(t)$，同时（默认）初始条件为零，然后通过传递函数$G(s)$乘以阶跃输入的拉普拉斯变换$U(s)=\frac{1}{s}$，得到$Y(s)=G(s)\cdot U(s)=\frac{1}{s(s^2 + 2\xi\omega_n s + 2)}$，再做逆拉普拉斯变换就能得到时域的阶跃响应了。

另外，如果你想算当前零输入条件下的响应（也就是初始条件$\dot y(0)=c$带来的响应），可以用拉普拉斯变换结合初始条件求解：
对原方程做拉普拉斯变换并代入$y(0)=0$、$\dot y(0)=c$，得到：
$$s^2Y(s) - c + 2\xi\omega_n sY(s) + 2Y(s) = 0$$
整理后得到：
$$Y(s) = \frac{c}{s^2 + 2\xi\omega_n s + 2}$$
之后根据阻尼比$\xi$的不同（欠阻尼$\xi<1$、临界阻尼$\xi=1$、过阻尼$\xi>1$），对$Y(s)$做逆拉普拉斯变换，就能得到时域的零输入响应$y(t)$了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1923435