问题描述 #

给定直角三角形$ABC$，直角顶点为$C$，斜边$AB=a$，$\angle BAC$的角平分线$AL=l$，求$\triangle ABC$的面积。

推导过程 #

• 首先设定$\angle BAC = \alpha$，分析$\triangle ABL$的三个内角：$\angle BAL = \frac{\alpha}{2}$（因$AL$是角平分线），$\angle ABL = 90^\circ - \alpha$（直角三角形中$\angle ABC = 90^\circ - \alpha$），$\angle ALB = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$。
• 对$\triangle ABL$应用正弦定理，得到：
  $$\frac{\sin\left(90^{\circ+\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin(90}\circ-\alpha)}=\frac{a}{l}$$
  利用三角函数诱导公式$\sin(90^\circ+x)=\cos x$、$\sin(90^\circ-x)=\cos x$，上式简化为：
  $$\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}=\frac{a}{l}$$
• 代入二倍角公式$\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1$，设$x=\cos\frac{\alpha}{2}$（$\alpha$为锐角，故$x>0$），整理得到关于$x$的二次方程：
  $$\frac{2a}{l}x^2 - x - \frac{a}{l}=0$$
  两边同乘$l$消去分母：
  $$2ax^2 - lx - a=0$$
  求解该二次方程，取正根：
  $$x=\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{l+\sqrt{l^2+8a2}}{4a}$$
• 在直角$\triangle ACL$中，$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{AC}{AL}$，因此直角边$AC=b=l\cdot x$，代入$x$的表达式得：
  $$b=\frac{l^2+l\sqrt{l2+8a^2}}{4a}$$
• 后续计算面积时，若用勾股定理求另一条直角边$BC=\sqrt{a^2 - b^2}$，再计算$\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC$，会得到非常繁琐的表达式。用Wolfram Alpha化简后的面积结果为：
  $$\frac{l \left(\sqrt{8 a^2 + l^2} + l\right) \sqrt{a^2 - \frac{l^2 \left(\sqrt{8 a^2 + l^2} + l\right)^2}{16 a^2}}}{8 a}$$
  我也尝试过其他思路，比如用面积表达式$\frac{c(a+b)}{2}$（其中$c=|CL|$），但最终还是没能得到更简洁的形式，绕来绕去仍会回到涉及$b$和勾股定理的复杂表达式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Math Student