哈喽！先帮你把问题背景和推导理清楚，再解答你的疑问：

问题背景与推导梳理 #

设定细节 #

• 坐标系：笛卡尔坐标系
• 带电立方体$V'$：边长为$a$，均匀电荷密度$\rho'$，中心在原点。立方体各坐标范围为：$x' \in [-a/2, a/2]$，$y' \in [-a/2, a/2]$，$z' \in [-a/2, a/2]$。
• 高斯面$S$：平行于$y$-$z$平面的正方形，边长$2a$，中心在$x$轴上距原点$a$处，所在平面为$x=a$，面元坐标范围是$y \in [-a, a]$，$z \in [-a, a]$。重要说明：高斯面与带电立方体无交集（$V' \cap S=\emptyset$），立方体的$x$方向边界是$x=\pm a/2$，和高斯面的$x=a$不重合。
• 关键物理量：
  • 带电立方体上任意点：$(x', y', z')$
  • 高斯面上任意点：$(a, y, z)$
  • 高斯面单位法向量：$\hat{n} = \hat{i}$
  • 库仑常数：$k$

你推导的电通量积分式 #

电通量的直接计算式为：
$$k\ \rho' \iint_S \big[\iiint_{V'} \dfrac{(a-x')\hat{i} + (y-y')\hat{j} + (z-z')\hat{k}}{[(a-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2]{3/2}} dx'dy'dz' \big] \cdot (\hat{n})\ dy dz$$
由于$\hat{n}=\hat{i}$，点积后仅保留$x$方向分量，化简为：
$$k\ \rho' \iint_S \big[\iiint_{V'} \dfrac{a-x'}{[(a-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2] ^{3/2}} dx'dy'dz' \big] dy dz$$
代入各坐标的积分限后得到：
$$k\ \rho' \int^a_{-a} \int^a_{-a} \big[\int^{a/2}{-a/2} \int^{a/2}{-a/2} \int^{a/2}_{-a/2} \dfrac{a-x'}{[(a-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2]{3/2}} dx'dy'dz' \big] dy\ dz$$

疑问解答 #

问题1：积分顺序是否正确？ #

你的积分顺序完全正确！而且不用被“五维积分域”的概念搞懵，给你拆解一下：

1. 物理逻辑上的合理性：
   你现在的顺序是先对带电立方体的三个坐标积分，算出高斯面上某一点$(a,y,z)$处的电场法向分量，再对整个高斯面的$(y,z)$积分，把所有面元的通量加起来——这完全贴合电通量的物理定义，是非常直观的计算思路。

2. 数学上的依据：
   五维域$V' \times S$确实是两个独立区域的乘积：三维立方体$V'$和二维正方形$S$，它们的坐标变量完全独立（$x',y',z'$和$y,z$之间没有任何依赖关系），所以这个五维域本质上是一个五维直积长方体，所有坐标的积分限都是固定区间，没有交叉依赖。
   根据富比尼定理，只要被积函数在这个五维域上可积（这里不管用黎曼积分还是勒贝格积分，都满足可积条件），累次积分的结果和积分顺序无关。你既可以先算立方体的三重积分，再算高斯面的二重积分；也可以交换顺序，先算高斯面的二重积分，再算立方体的三重积分，结果是一样的。

所以放心用你现在的积分顺序就好，不管是物理意义还是数学严谨性都没问题～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lorilori