关于利用弱惠特尼嵌入定理构造浸入到嵌入的正则同伦的技术问询

阿华AIGC实验室

2026-4-23

如何利用弱惠特尼嵌入定理构造从浸入到嵌入的正则同伦？

先明确正则同伦的核心定义：

两个浸入 $f, g \in \text{Imm}(M,N)$ 是正则同伦的，当且仅当存在一族浸入 $h_t: M \to N$（$t \in [0,1]$）满足 $h_0 = f$、$h_1 = g$，且对应的导数映射 $Th_t: TM \to TN$ 能构成丛单同态的同伦——即映射 $TM \times [0,1] \to TN, (v,t) \mapsto Th_t(v)$ 连续，且对每个固定的 $t$，$Th_t$ 都是丛单同态。

你的问题背景是：给定闭流形 $M^m, N^n$ 满足 $2m < n$，弱惠特尼嵌入定理保证任意浸入 $f: M \to N$ 都能被嵌入任意逼近，现在要搞清楚怎么用这个结论构造 $f$ 到某个嵌入 $g$ 的正则同伦。

你已经梳理的核心思路（完全正确！）

首先，$\text{Imm}(M,N)$ 在 $C^\infty(M,N)$ 中是开集：这意味着存在某个 $\epsilon > 0$，只要映射 $g$ 与 $f$ 的距离足够小（比如用流形上的黎曼度量定义的 $C^0$ 距离），那么连接 $f$ 和 $g$ 的“小同伦”里的每一个 $h_t$ 都是浸入。
再结合 Tammo tom Dieck《代数拓扑》的命题15.8.3：只要 $g$ 足够靠近 $f$，就存在这样的同伦 $h_t$，使得所有 $h_t$ 都属于 $\text{Imm}(M,N)$。
最后用弱惠特尼嵌入定理，找到一个与 $f$ 足够近的嵌入 $g$，这样就得到了连接 $f$ 和 $g$ 的浸入同伦。

解决你最后的疑问：导数构成丛单同态同伦的证明

你纠结的点是：怎么确保这些 $h_t$ 的导数 $Th_t$ 满足正则同伦对丛单同态同伦的要求？咱们从两个关键角度拆解：

弱惠特尼嵌入定理可以做$C^1$逼近
其实惠特尼的逼近结论不止局限于 $C^0$，它可以做到任意阶的 $C^k$ 逼近（$k \geq 0$）。也就是说，我们不仅能找到和 $f$ $C^0$ 靠近的嵌入，还能找到**$C^1$ 充分靠近**$f$的嵌入$g$——这是关键的第一步。
线性单射的集合是开集
对于每个 $x \in M$，考虑从 $T_xM$ 到 $T_{h_t(x)}N$ 的线性映射空间 $\text{Hom}(T_xM, T_{h_t(x)}N)$：其中单射线性映射的子集是开集（因为线性映射是单射当且仅当它在基下的行列式非零，而行列式是连续函数，非零行列式的集合自然是开集）。
因为 $h_t$ 是 $C^1$ 靠近 $f$ 的，所以 $Th_t(x)$ 作为线性映射会足够靠近 $Tf(x)$（而 $Tf(x)$ 是单射，因为 $f$ 是浸入），因此每个 $Th_t(x)$ 都落在单射的开邻域里，即 $Th_t$ 是丛单同态。
导数的连续性
由于 $h_t$ 是 $C^1$ 同伦（也就是 $h_t$ 关于 $t$ 的 $C^1$ 连续性），$Th_t$ 作为从 $TM \times [0,1]$ 到 $TN$ 的映射自然是连续的——这就满足了“丛单同态的同伦”的连续性要求。

如果我们退一步用 $C^0$ 逼近的同伦，其实也能推导：因为 $C^1$ 拓扑比 $C^0$ 拓扑更细，浸入集在 $C^1$ 拓扑中也是开集，所以存在一个 $\epsilon > 0$，所有与 $f$ 的 $C^1$ 距离小于 $\epsilon$ 的映射都是浸入。弱惠特尼嵌入定理找到这样的 $C^1$ 靠近的嵌入 $g$ 后，连接 $f$ 和 $g$ 的测地线同伦（保证在流形内部的同伦）的所有 $h_t$ 都是浸入，且 $Th_t$ 满足连续单同态的要求。