嘿，这个数论小问题拆解一下其实很直观，咱们一步步来捋清楚：

首先先把题目给出的不等式做个简单变形，方便分析：

给定正整数$n$，证明存在偶数$k$，使得 $3n-1 < k + 1 < 3n+2$

把不等式两边同时减1，就能得到等价的范围：$3n-2 < k < 3n+1$。现在问题就转化为：在这个开区间里，一定存在至少一个偶数$k$。

换个角度看原不等式里的$k+1$：它的取值范围是$(3n-1, 3n+2)$，这个区间里包含的整数只有两个——$3n$和$3n+1$。这俩是连续整数，而连续的两个整数必然一个是奇数，一个是偶数，这是关键！

我们需要$k$是偶数，那$k+1$就必须是奇数（因为偶数加1肯定是奇数）。那在$3n$和$3n+1$里，总有一个是奇数：

• 如果$n$是奇数，那么$3n$就是奇数（奇数×奇数=奇数），这时候取$k+1=3n$，对应的$k=3n-1$，显然是偶数，代入原不等式：$3n-1 < 3n < 3n+2$，完全成立；
• 如果$n$是偶数，那么$3n$是偶数（偶数×奇数=偶数），此时$3n+1$就是奇数，取$k+1=3n+1$，对应的$k=3n$，是偶数，代入原不等式：$3n-1 < 3n+1 < 3n+2$，也成立。

举两个实际例子验证下：

• 当$n=1$（奇数）：$3×1-1=2 < k+1 < 3×1+2=5$，取$k+1=3$（奇数），则$k=2$（偶数），满足$2<3<5$；
• 当$n=2$（偶数）：$3×2-1=5 < k+1 < 3×2+2=8$，取$k+1=7$（奇数），则$k=6$（偶数），满足$5<7<8$。

这样不管$n$是奇数还是偶数，我们都能找到符合条件的偶数$k$，证明就完成啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ChaiT