嗨，我来帮你理清这个问题~ 之前你接触到了多元复合函数的偏导数链式法则，现在想把它转化为极限定义的形式，还列出了4个候选版本，咱们一步步分析：

首先先回顾背景：我们的复合函数是
$$
f(x,y) \ = \ \varphi (\ \underbrace{\frac yx}_u \ , \ \underbrace{ x^2-y2}_v \ , \ \underbrace{y-x}_w \ )
$$
对应的链式法则偏导公式为
$$
\frac{\partial f}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \varphi}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} \ + \ \frac{\partial \varphi}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} \ + \ \frac{\partial \varphi}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}
$$

而偏导数的核心定义是固定其他变量，仅对目标变量求极限，也就是：
$$
\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}
$$
这里的关键是：求对$x$的偏导时，$y$是完全固定的，根本不会出现$\Delta y$，更不需要让$\Delta y \to 0$。

基于这个核心点，咱们先排除错误选项：

• 版本(2)(3)(4)都引入了$\lim_{\Delta x, \Delta y \to 0}$，这完全违背了偏导数“固定y”的要求；而且这几个版本里还错误地让$u$的增量包含了$\Delta y$的变化，不符合偏导的定义逻辑，所以这三个版本直接排除。

再看版本(1)的完整展开：
$$
\lim_{\Delta x \to 0}
\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}

= \frac{\varphi (u(x + \Delta x, y), v, w) - \varphi (u(x, y), v, w)}{u(x + \Delta x, y) - u(x, y)}
\frac{u(x + \Delta x, y) - u(x, y)}{\Delta x} \

• \frac{\varphi (u, v(x + \Delta x, y), w) - \varphi (u, v(x, y), w)}{v(x + \Delta x, y) - v(x, y)}
  \frac{v(x + \Delta x, y) - v(x, y)}{\Delta x} \

• \frac{\varphi (u, v, w(x + \Delta x, y)) - \varphi (u, v, w(x, y))}{w(x + \Delta x, y) - w(x, y)}
  \frac{w(x + \Delta x, y) - w(x, y)}{\Delta x}
  $$

这个版本完全符合要求：

1. 它严格遵循了偏导数定义，只让$\Delta x \to 0$，全程固定$y$不变；
2. 每一项的结构都是“φ对单个中间变量的增量比”乘以“该中间变量对x的增量比”，当$\Delta x \to 0$时，中间变量的增量也趋近于0，第一个分式的极限就是$\frac{\partial \varphi}{\partial u}$（或对应v、w的偏导），第二个分式的极限就是$\frac{\partial u}{\partial x}$（或对应v、w的偏导），完美对应链式法则的推导逻辑。

所以结论是：只有版本(1)是正确的极限定义式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gyro