嘿，别慌！我完全懂隔了很久忘了积分技巧的那种迷茫感😉

首先要明确：你不能直接把$x$和$e^{-2x}$分开单独积分再相乘，因为积分的乘法法则可不是这么玩的——$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \times \int g(x)dx$，这是很多人容易踩的坑哦。

这种两个不同类型函数（多项式+指数函数）相乘的积分，咱们得用分部积分法来解决，核心公式是：
$$\int u , dv = uv - \int v , du$$

下面一步步来算$4xe^{-2x}$的积分：

• 先把常数4提出来，简化计算：$4\int xe^{-2x}dx$
• 选好$u$和$dv$：通常优先让容易求导的函数当$u$，容易积分的当$dv$。这里设$u = x$，$dv = e^{-2x}dx$
• 计算$du$和$v$：
  • $du = dx$（对$u=x$求导）
  • $v = \int e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}e^{{-2x}$（积分$e}{ax}$的结果是$\frac{1}{a}e^{ax}$，这里$a=-2$）
• 代入分部积分公式：
  $$\int xe^{-2x}dx = x \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)dx$$
• 化简右边的积分项：
  $$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2}\int e^{-2x}dx$$
  继续积分$\int e^{{-2x}dx$得到$-\frac{1}{2}e}{-2x}$，所以：
  $$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right) + C$$
  $$= -\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C$$
• 最后乘回之前提出来的4：
  $$4\left(-\frac{1}{2}xe^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x}\right) + C = -2xe^{-2x} - e^{-2x} + C$$
  也可以整理成更简洁的形式：$-e^{-2x}(2x + 1) + C$（$C$是积分常数）

如果下次再忘，就记住：遇到多项式乘指数/三角函数这类乘积积分，分部积分法就是你的救命稻草，先选好$u$和$dv$，一步步套公式就好啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者WWoPPoWW