嗨，我来帮你梳理下这个证明的问题，再给你一个更严谨的标准解法~

先说说你的证明里的漏洞 #

你的整体思路方向是对的，但中间构造序列的部分存在逻辑跳跃和错误，最关键的问题在于忽略了题目没给出函数连续性这个前提：

• 你构造的a_n = f(a_{n-1})序列，推导a_n ∈ A_>的部分是对的，但后续用lim_{n→∞} f(a_{n-1}) = f(lim_{n→∞} a_{n-1})这一步，默认了函数f是连续的，但严格递增函数不一定连续，这一步没有依据，属于逻辑漏洞。
• 另外你对b_n序列的描述有误：因为b_1 ∈ A_<（即f(b_1) < b_1），结合严格递增的性质，b_2 = f(b_1) < b_1，所以b_n应该是严格递减序列，不是你说的严格递增，这点会造成逻辑混乱。

正确的严谨证明（无需连续性） #

我们可以用确界原理来完成证明，这是这类无连续性条件下不动点问题的标准解法：

1. 定义集合 S = { x ∈ [0,1] | f(x) ≥ x }
   • 首先，0 ∈ S（因为函数值域是[0,1]，所以f(0) ≥ 0），说明S非空；同时S有上界1，根据确界原理，S存在上确界，记为 c = sup S，显然c ∈ [0,1]。
2. 分两种情况讨论：
   • 情况1：f(c) ≥ c
     因为c是S的上确界，对任意ε>0，存在x ∈ S使得c - ε < x ≤ c。由于f严格递增，f(x) ≥ x且f(x) ≤ f(c)，因此c - ε < x ≤ f(x) ≤ f(c)，令ε→0可得c ≤ f(c)。
     假设f(c) > c，结合严格递增性质，f(f(c)) > f(c)，这说明f(c) ∈ S，但f(c) > c，与c是S的上确界矛盾，因此只能f(c)=c。
   • 情况2：f(c) < c
     因为c是S的上确界，所有x > c都满足f(x) < x。取序列x_n = c + (1 - c)/n，当n→∞时x_n→c，由严格递增性得f(c) ≤ f(x_n) < x_n，令n→∞可得f(c) ≤ c，结合前提f(c) < c，我们可以推出：所有S中的元素都满足x ≤ f(x) ≤ f(c) < c，这说明f(c)是S的一个上界，但f(c) < c，与c是S的上确界矛盾，因此情况2不可能发生。

综上，必然存在c ∈ [0,1]使得f(c)=c。

额外补充 #

如果题目中明确f是连续函数，证明会更简单：构造辅助函数g(x)=f(x)-x，则g(0)=f(0)-0 ≥0，g(1)=f(1)-1 ≤0，根据介值定理，存在c ∈ [0,1]使得g(c)=0，即f(c)=c。但本题仅给出严格递增条件，所以必须用确界原理的方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者X0-user-0X