这确实是个相当有挑战性的几何逆问题——从已知点到三边的固定距离，反推原三角形的面积与周长最值，比正向研究垂足三角形的性质要棘手得多，完全能理解你卡壳的处境。

先把问题再明确梳理下：

给定△ABC内部一点P，已知P到三边的距离分别为p、q、r，求△ABC的面积和周长的最大值、最小值。

我整理了几个可行的切入思路，供你参考：

1. 用面积关系建立基础等式，转化为约束优化问题 #

设△ABC的三边为a、b、c，面积为S。根据面积拆分，△ABC的面积等于P分割出的三个小三角形面积之和：
$$S = \frac{1}{2}ap + \frac{1}{2}bq + \frac{1}{2}cr$$
我们可以引入面积坐标（重心坐标），把P的坐标表示为$(S_{PBC}:S_{PCA}:S_{PAB})=(ap : bq : cr)$，令$ap = \lambda S$、$bq = \mu S$、$cr = \nu S$，其中$\lambda+\mu+\nu=1$且$\lambda,\mu,\nu>0$，这样三边可转化为：
$$a = \frac{\lambda S}{p}, \quad b = \frac{\mu S}{q}, \quad c = \frac{\nu S}{r}$$
结合三角形三边不等式（$a+b>c$、$a+c>b$、$b+c>a$），可得到关于$\lambda,\mu,\nu$的约束条件（S为正数可约去），此时问题就转化为在这些约束下，对S或周长$L=a+b+c$求极值，可用拉格朗日乘数法或不等式技巧（如柯西、AM-GM不等式）求解。

2. 极端情况分析：最值的存在性 #

先思考一个关键问题：面积和周长是否存在最大值？
假设固定P到BC的距离为p，把BC边无限延长，同时调整AB、AC的角度，让它们到P的距离保持q、r不变——此时△ABC的面积会趋近于无穷大，周长也会无限增长。由此可推断：△ABC的面积和周长没有最大值，只有最小值。

3. 最小值的求解方向 #

• 坐标系法：把点P设为坐标原点(0,0)，将△ABC的三边表示为三条距离原点分别为p、q、r的直线：
  $$x\cos\alpha + y\sin\alpha = p, \quad x\cos\beta + y\sin\beta = q, \quad x\cos\gamma + y\sin\gamma = r$$
  计算三条直线的交点（即△ABC的顶点），进而推导面积和周长的表达式，再通过三角函数的极值求解最小值。这种方法计算量较大，但逻辑直接。
• 内角与线段关系法：设PA=x、PB=y、PC=z，结合△BPC、△APC、△APB的面积与内角关系，可得：
  $$ap = yz\sin A, \quad bq = xy\sin C, \quad cr = xz\sin B$$
  再结合正弦定理$a=2R\sin A$、$b=2R\sin B$、$c=2R\sin C$，可将x、y、z用单一变量表示，最终把面积S转化为关于内角B、C的函数，通过求导或三角函数恒等变换找最小值。
• 特殊比例猜测：如果假设△ABC的三边与P到三边的距离成比例（即$a/p = b/q = c/r = k$），此时需满足p、q、r能构成三角形（$p+q>r$、$p+r>q$、$q+r>p$），代入面积公式结合海伦定理，可推导出对应的S值，这个值大概率是面积的最小值，你可以尝试验证这个猜想。

这个问题的核心是把几何条件转化为代数约束，再用优化工具求解，过程中需要耐心处理大量的推导和计算，希望这些思路能帮到你。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr.He