嘿，我来帮你搞定这个方程组，顺便聊聊这类整数域高次多项式方程组的通用思路，帮你避开瞎试的坑~

先看你给出的这个整数方程组：
$$\begin{cases}
x^4+4y3+6x^2+4y = -137 \
y^4+4x3+6y^2+4x = 472
\end{cases}$$
其中 $x, y \in \Bbb{Z}$

你已经想到把两个方程相加，这步真的太关键了！我们把这个推导补完整：
把两个等式左右两边分别相加，左边整理后刚好能凑成两个完全四次方的形式：
回忆一下四次方的展开式：
$$(a+1)^4 = a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1$$
所以左边的多项式可以拆成：
$(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) + (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) - 2$
也就是 $(x+1)^4 + (y+1)^4 - 2$

右边相加的结果是 $-137 + 472 = 335$，所以我们得到了一个非常简洁的等式：
$$(x+1)^4 + (y+1)^4 = 337$$

接下来就简单了，因为整数的四次方增长极快，我们先列出所有四次方值不超过337的整数：

• $0^4=0$，$14=1$，$2^4=16$，$34=81$，$4^4=256$，$54=625$（已经超过337，直接排除）

现在找两个这样的四次方数相加等于337，很快就能发现只有 $256 + 81 = 337$，也就是 $4^4 + 3^4 = 337$。注意四次方的正负整数结果相同，所以我们分两种情况讨论：

情况1：$(x+1)^{4=256$，$(y+1)}4=81$ #

• 由 $(x+1)^4=256$，得 $x+1=±4$ → $x=3$ 或 $x=-5$
• 由 $(y+1)^4=81$，得 $y+1=±3$ → $y=2$ 或 $y=-4$

把这四组组合代入原方程组验证：

• $x=3,y=2$：第一个方程左边=$81 + 4×8 + 6×9 + 4×2=175≠-137$，排除
• $x=3,y=-4$：第一个方程左边=$81 + 4×(-64) + 6×9 + 4×(-4)=-137$，符合；第二个方程左边=$(-4)^4 +4×27 +6×16 +4×3=472$，完全符合！这是一组有效解。
• $x=-5,y=2$：第一个方程左边=$625 + 4×8 + 6×25 + 4×2=815≠-137$，排除
• $x=-5,y=-4$：第一个方程左边=$625 + 4×(-64)+6×25+4×(-4)=503≠-137$，排除

情况2：$(x+1)^{4=81$，$(y+1)}4=256$ #

• 由 $(x+1)^4=81$，得 $x+1=±3$ → $x=2$ 或 $x=-4$
• 由 $(y+1)^4=256$，得 $y+1=±4$ → $y=3$ 或 $y=-5$

代入原方程组验证：

• $x=2,y=3$：第一个方程左边=$16+4×27+6×4+4×3=160≠-137$，排除
• $x=2,y=-5$：第一个方程左边=$16+4×(-125)+6×4+4×(-5)=-480≠-137$，排除
• $x=-4,y=3$：第一个方程左边=$256+4×27+6×16+4×3=472≠-137$，排除
• $x=-4,y=-5$：第一个方程左边=$256+4×(-125)+6×16+4×(-5)=-168≠-137$，排除

所以这个方程组唯一的整数解就是 $\boldsymbol{x=3, y=-4}$。

接下来聊聊你关心的通用解法思路，帮你以后遇到这类问题不用瞎试：

• 优先凑完全幂次：这是这类问题的核心技巧，像你这次做的凑完全四次方，或者常见的完全平方、立方，把复杂的多项式转化为$(x+a)^n$这类形式，目的是把无限的整数范围压缩到有限的可能值。
• 利用整数的有界性：高次多项式（四次方、五次方）在整数范围内增长极快，比如四次方到5就已经是625了，所以通过估算就能快速限定变量的取值范围，把无限的整数变成有限的几个候选值。
• 奇偶性/模运算筛选：整数的奇偶性、模某个质数（比如模2、3、4、16）的性质能帮你提前排除大量不可能的组合。比如刚才的337是奇数，说明两个四次方必然一奇一偶，也就是其中一个变量+1是偶数，另一个是奇数，直接减少一半的验证量。
• 加减/变形消元：除了相加，有时候也可以尝试相减单个方程，或者对单个方程补项凑完全式。比如单个方程里有$x^4+4x3$，就可以补$6x^{2+4x+1$凑成$(x+1)}4$，剩下的部分再整理成简单的形式。
• 验证候选解：当你把范围缩小到有限个候选值后，代入原方程验证是最后一步，这步虽然繁琐，但因为范围已经很小，工作量不大。

总结下来，这类问题的核心逻辑就是：通过代数变形简化方程 → 利用整数性质缩小取值范围 → 验证剩余候选解，这样就能避免漫无目的的试错，有章法地解决问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sgg8