嗨，我来帮你理清这个问题～

首先直接回答你的核心疑问：函数$F(s)=s$确实是拉普拉斯变换，但它对应的不是普通的连续/可积函数，而是广义函数（分布）范畴里的狄拉克δ函数的导数$\delta'(t)$。

你之前尝试用$\cos{t}$、$t\sin{t}$这类普通函数的变换来凑，没成功是正常的——这类普通函数的拉普拉斯变换在$\text{Re}(s)\to\infty$时都会趋于0，而$F(s)=s$显然不满足这个特性，所以它不可能对应普通函数的变换。

接下来讲讲你提到的“怎么判断一个函数是不是拉普拉斯变换”的通用方法，分几种情况来说：

针对普通函数的拉普拉斯变换判定 #

如果我们只考虑$t\geq0$时定义的普通函数（可积、缓增），可以从这几点入手：

• 增长性要求：存在某个实数$c$，当$\text{Re}(s) > c$时，$\lim_{|s|\to\infty, \text{Re}(s)\geq c} |F(s)| = 0$。简单说就是在收敛半平面内，$s$趋向无穷时$F(s)$要趋于0，这也是你找普通函数凑不出$s$的核心原因。
• 解析性要求：$F(s)$必须在半平面$\text{Re}(s) > c$内是解析的（全纯函数，处处可导）。比如$F(s)=s$在整个复平面都解析，这一点是满足的，但增长性不达标。
• 佩利-维纳准则：如果$f(t)$是$t<0$时为0的平方可积函数，那么它的拉普拉斯变换$F(s)$在$\text{Re}(s)>0$内解析，且对所有$\sigma>0$，$\int_{-\infty}^{\infty} |F(\sigma + i\tau)|^2 d\tau < \infty$，同时$\lim_{\sigma\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\sigma + i\tau)|^2 d\tau = 0$。这是针对平方可积函数的严格判定规则。

广义函数范畴的拉普拉斯变换 #

如果允许广义函数（比如δ函数、δ函数的导数这类），那判定范围会放宽，此时可以通过逆变换积分验证：
利用梅林逆变换公式：
$$f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s) e^{st} ds$$
其中$\gamma$是大于收敛横坐标的实数。如果这个积分能收敛到某个广义函数，那$F(s)$就是拉普拉斯变换。比如对于$F(s)=s$，代入逆变换积分后，就能得到$\delta'(t)$。

再说说你从定义积分入手的尝试：你假设$\int_0^\infty f(t) e^{-st} dt = s$，普通函数$f(t)$的积分结果不可能在$s$增大时反而增大，只有广义函数能满足这个等式。用分部积分法对$\delta'(t)$的拉普拉斯变换计算就能验证：
$$\int_0^\infty \delta'(t) e^{-st} dt = -\int_0^\infty \delta(t) \frac{d}{dt}e^{-st} dt = \int_0^\infty \delta(t) s e^{-st} dt = s$$
（这里用到了广义函数的分部积分规则，δ函数的筛选性质）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者санкет мхаске