嗨，我来帮你理清这个困惑～你的疑问其实是很多初学分析的人都会遇到的，咱们一步步拆解来看：

回顾问题与证明 #

问题：假设数列 $(s_n)$ 收敛于 $s$，数列 $(t_n)$ 收敛于 $t$，且对所有 $n$ 都有 $s_n \leq t_n$。证明 $s \leq t$。

无矛盾证明过程：
对于任意 $\varepsilon>0$，存在足够大的 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $s-\varepsilon/2\leqslant s_{n}\leqslant s+\varepsilon/2$ 和 $t-\varepsilon/2\leqslant t_{n}\leqslant t+\varepsilon/2$。

结合已知条件 $s_{n}\leqslant t_{n}$，可以得到：
$$
s-\varepsilon/2\leqslant s_{n}\leqslant t_{n}\leqslant t+\varepsilon/2
$$
由此可以推出：
$$
s\leqslant t+\varepsilon
$$
由于 $\varepsilon>0$ 是任意的，因此证明完成。

你的疑问 #

你觉得因为 $\epsilon > 0$，所以 $s \leq t+\epsilon$ 始终无法直接得到 $s \leq t$，这个证明好像没真正完成。

解答：这个证明是完全严谨正确的！ #

这里的核心是理解**“$\varepsilon>0$ 是任意的”**这句话的逻辑分量，我们可以从两个角度解释：

1. 等价性逻辑
   把证明得到的结论变形一下：$s - t \leq \varepsilon$。这里 $s-t$ 是一个固定不变的实数，而 $\varepsilon$ 可以是任意正数。如果 $s - t > 0$，那我们取 $\varepsilon_0 = \frac{s-t}{2}$（显然 $\varepsilon_0>0$），这时候就会出现 $s-t > \varepsilon_0$，直接和“对任意 $\varepsilon>0$ 都有 $s-t \leq \varepsilon$”矛盾。因此只能有 $s-t \leq 0$，也就是 $s \leq t$。

2. 反证法辅助理解
   假设结论不成立，即 $s > t$，那么取 $\varepsilon = s - t > 0$，代入证明里的结论 $s \leq t+\varepsilon$，会得到 $s \leq t + (s-t) = s$，看似是等式，但回到之前的不等式链：
   $s - \frac{\varepsilon}{2} = \frac{s+t}{2}$，$t + \frac{\varepsilon}{2} = \frac{s+t}{2}$，这意味着当 $n>N$ 时，$s_n = t_n = \frac{s+t}{2}$，但这和 $s > t$ 的假设矛盾——因为如果 $s > t$，数列 $(s_n)$ 收敛到更大的 $s$，$(t_n)$ 收敛到更小的 $t$，不可能在足够大的 $n$ 时两者都等于中间值。

你觉得“$s \leq t$ 从未真正发生”，其实是混淆了“对任意小的 $\varepsilon$ 成立”和“$\varepsilon$ 趋近于0的极限状态”。在分析学里，“对任意 $\varepsilon>0$ 都有 $s \leq t+\varepsilon$”和“$s \leq t$”是完全等价的命题，这个证明的逻辑是严密的，并没有问题哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PiE