最近我在琢磨$p$-级数的时候，突然想到这么一个问题：

对于哪些实数$a$，级数$S=\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{1+|\sin k|^a}}$是收敛的？

下面是我目前捣鼓出来的一些思路和困惑：

先搞定$a \le 0$的情况 #

当$a \le 0$时，因为正整数$k$的$|\sin k|$肯定在$(0,1]$之间，指数非正时，$|\sin k|^a \ge |\sin k|^0 = 1$，所以级数的每一项都满足：
$$\dfrac{1}{k^{1+|\sin k|^a}} \le \dfrac{1}{k^{2}}$$
而$\sum\limits_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^{2}} = \dfrac{\pi^2}{6}$是收敛的，用比较判别法一对比，立马就能知道$S$在$a \le 0$时肯定收敛。

$a > 0$时就头疼了：常规判别法全不管用 #

当$a > 0$的时候，我试了各种常用的级数判别法，结果全卡壳了：

• 通项极限判别法：通项$\dfrac{1}{k^{1+|\sin k|^a}}$确实趋近于0，但这只能排除发散的一种可能，没法确定收敛；
• $p$-级数比较判别法：这里的指数$1+|\sin k|^a$不是固定值——虽然它始终大于1（毕竟$k$是正整数，$|\sin k|$永远不会是0），但光这一点不够，比如有个经典的反例：$\sum\limits_{k=2}^\infty \dfrac{1}{k^{1+\frac{1}{\ln k}}} = \sum\limits_{k=2}^\infty \dfrac{1}{ek}$，这个级数就是发散的；
• 积分判别法：对应的函数$\dfrac{1}{x^{1+|\sin x|^a}}$不是单调递减的，不符合积分判别法的前提；
• 比值判别法：相邻两项的比值极限根本不存在，没法用；
• 根值判别法：通项的$n$次方根极限是1，结果是不确定的，等于没说。

数值计算的小发现 #

我跑了些数值模拟来摸规律：

• 当$a=1$时，对于很大的$n$，部分和$\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k^{1+|\sin k|^a}}$大概符合$\approx c_1\ln(\ln n) + c_2$的形式（$c_1$、$c_2$是常数）。要是这个近似靠谱的话，那说明当$a \ge 1$时，级数$S$应该是发散的；
• 但当$0 < a < 1$时，数值结果没给出明确的方向，我暂时还搞不清这时候级数是收敛还是发散。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan