嘿，这个问题提得很有意思！咱们从你熟悉的多重集生成函数出发，一步步拆解这个类似的级数，看看能不能找到它的显式表达式。

首先，先明确级数里的组合数：$\binom{d+m-1}{m-1}$是多重集的计数，它可以写成$\frac{(d+m-1)!}{d!(m-1)!}$，也等价于上升阶乘的形式$\frac{(m)_d}{d!}$（这里$(m)_d$是Pochhammer符号，表示$m(m+1)\dots(m+d-1)$）。把这个代入你问的级数里，就得到：

$$
\sum_{d=0}^{\infty\binom{d+m-1}{m-1}\frac{x}d}{d!} = \sum_{d=0}^\infty \frac{(m)_d}{(d!)^2}xd
$$

接下来分两种情况讨论：

当m是正整数时 #

这种情况我们可以得到非常直观的多项式乘指数函数的形式，先看几个小例子找规律：

• m=1时，级数退化为$\sum_{d=0}^\infty \frac{x^d}{d!} = e^x$，符合预期；
• m=2时，$\sum_{d=0}^\infty (d+1)\frac{x^d}{d!} = e^x(1+x)$；
• m=3时，$\sum_{d=0}^\infty \frac{(d+2)(d+1)}{2}\frac{x^d}{d!} = e^{x\left(1+2x+\frac{x}2}{2}\right)$；
• m=4时，级数结果是$e^{x\left(1+3x+\frac{3x}2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)$。

你能发现规律吗？对于正整数m，这个级数可以表示为：
$$
e^x \sum_{k=0}^{m-1} \frac{(m-1)_k}{k!}x^k
$$
这里$(m-1)_k$是上升阶乘，即$(m-1)(m-2)\dots(m-k)$（k=0时取1）。展开后就是$e^x$乘以一个m-1次多项式，直接展开组合数成多项式再求和会更直接得到这个结果。

对于一般的实数/复数m #

这个级数其实对应合流超几何函数的标准形式，具体来说就是第一类合流超几何函数$M(m,1,x)$，它的定义就是：
$$
M(a,b,z) = \sum_{d=0}^\infty \frac{(a)_d}{(b)_d}\frac{z^d}{d!}
$$
当b=1时，$(b)_d = d!$，所以$M(m,1,x)$正好和我们的级数完全一致。合流超几何函数是数学中研究比较透彻的特殊函数，它还有积分形式的表达式：
$$
M(m,1,x) = e^x \int_0^1 t^{m-1}e{-xt}dt
$$
这个积分形式对于非整数m也适用，能帮助我们进一步分析级数的性质。

总结一下：如果m是正整数，你可以用$e^x$乘多项式的显式形式；如果m是更一般的数值，这个级数就是第一类合流超几何函数$M(m,1,x)$，有成熟的理论和计算方法支持。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nobo