我来一步步帮你推导这个问题，结合你已经想到的思路，再把给定的条件充分利用起来，就能得出明确结论啦。

首先，先把已知条件转化为更易用的三角函数形式：
已知 (2\tan a \tan b = 1)，由于 (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x})，代入后交叉相乘可得：
$$2\sin a \sin b = \cos a \cos b$$

接下来，我们要比较 (\cos^2 b) 和 (\sin^2(a+b)) 的大小。因为 (a+b < \frac{\pi}{2})，且 (\tan a \tan b = \frac{1}{2} > 0)，所以a、b都是锐角（(0 < a,b < \frac{\pi}{2})），此时cos b和sin(a+b)都是正数，因此比较平方的大小等价于直接比较两个正数本身的大小。

我们可以利用余弦的和角公式来推导：
$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$
把之前得到的 (2\sin a \sin b = \cos a \cos b) 代入上式，替换掉 (\cos a \cos b)：
$$\cos(a+b) = 2\sin a \sin b - \sin a \sin b = \sin a \sin b$$

再结合三角函数的平方关系 (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x)，可得：
$$\sin^2(a+b) = 1 - \cos^2(a+b) = 1 - (\sin a \sin b)^2$$

现在我们把 (\cos^2 b) 也用平方关系展开：
$$\cos^2 b = 1 - \sin^2 b$$

接下来计算两者的差值：
$$\sin^2(a+b) - \cos^2 b = \left[1 - \sin^2 a \sin^2 b\right] - \left[1 - \sin^2 b\right]$$
化简后得到：
$$\sin^2(a+b) - \cos^2 b = \sin^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = \sin^2 b \cdot \cos^2 a$$

由于a、b都是锐角，(\sin b > 0)，(\cos a > 0)，所以这个差值是正数，也就是说：
$$\sin^2(a+b) > \cos^2 b$$

另外，你之前考虑的角度范围思路也能验证这个结论：从已知条件可以推导出 (a + 2b > \frac{\pi}{2})（因为计算 (\tan(a+2b)) 会得到负数，而 (a+2b < (a+b)+b < \pi)，所以 (a+2b) 落在 ((\frac{\pi}{2}, \pi)) 区间），那么 (\frac{\pi}{2} - b < a + b)。
因为正弦在 ([0, \frac{\pi}{2}]) 是增函数，且 (\cos b = \sin(\frac{\pi}{2} - b))，所以：
$$\sin(\frac{\pi}{2} - b) < \sin(a+b)$$
也就是 (\cos b < \sin(a+b))，平方后同样得到 (\cos^2 b < \sin^2(a+b))。

总结：在题设条件下，(\sin^2(a+b)) 严格大于 (\cos^2 b)，不存在相等的情况（等号成立需要 (\cos a = 0) 或 (\sin b = 0)，均不符合角度范围要求）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Guess