嘿，我来帮你把这个线性规划里的顶点问题掰明白～先从你疑惑的组合数公式和非零分量特性的根源说起：

先明确顶点（Corner）的核心定义 #

首先得把线性规划里的顶点（也就是可行域的极点）说清楚：它是满足两个条件的向量$x$：

• 满足约束$Ax = b$和$x \geq 0$
• 不能被可行域内任意两个不同的点$x_1$、$x_2$的线性组合表示（简单说就是“凸多面体的尖儿，没法被其他点凑出来”）

为什么顶点最多有m个非零分量？ #

咱们默认$A$是行满秩的（也就是m个方程是线性无关的，没有冗余约束），n个未知数且$n>m$。
如果某个解$x$有超过m个非零分量，那这些非零分量对应的$A$的列向量，在m维空间里必然是线性相关的（因为m维空间里最多只能有m个线性无关的向量）。这意味着我们可以调整这些非零分量的取值——比如给某些分量加一点，另一些减一点，让它们的组合仍然满足$Ax=b$，同时能把其中某个分量降到0，得到两个新的可行点。原来的那个点其实就是这两个新点的线性组合，所以它根本不是顶点！

反过来，只有当$x$的非零分量对应的$A$的列向量是线性无关的时候，这个点才是顶点。而线性无关的列最多只能选m个（因为A的行秩是m），所以顶点最多有m个非零分量。

顶点数量公式$C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)$的来源 #

这个组合数其实是在算候选顶点的最大可能数量：
从n个未知数里挑出m个，让它们作为非零分量，剩下的$n-m$个直接设为0。然后解子方程组$A_{:,S}x_S = b$（这里S是你挑的那m个变量的下标集合）。如果这个子方程组有唯一解，而且解的每个分量都是正的（满足$x\geq0$），那这个点就是一个有效顶点。

当然不是所有的选法都能得到有效顶点——比如解出来可能有负分量，那就不符合约束，会被排除。但理论上最多有这么多个候选顶点，这就是那个公式的由来。

用两个3D平面的例子直观理解 #

咱们拿$m=2$（两个方程）、$n=3$（三个未知数）的情况举例，约束条件设为：

$x_1 + x_2 + x_3 = 4$
$x_1 + 2x_2 = 3$
同时满足$x_1,x_2,x_3 \geq 0$

现在按组合数$C(3,2)=3$种选法来试：

• 选$x_1,x_2$作为非零分量，设$x_3=0$：
  解方程组$\begin{cases}x_1 + x_2 = 4 \ x_1 + 2x_2 = 3\end{cases}$，得到$x_2=-1$，$x_1=5$。$x_2$是负数，不符合$x\geq0$，所以这个不是有效顶点。
• 选$x_1,x_3$作为非零分量，设$x_2=0$：
  解方程组$\begin{cases}x_1 + x_3 = 4 \ x_1 = 3\end{cases}$，得到$x_1=3$，$x_3=1$，都是正数，所以$(3,0,1)$是一个有效顶点。
• 选$x_2,x_3$作为非零分量，设$x_1=0$：
  解方程组$\begin{cases}x_2 + x_3 = 4 \ 2x_2 = 3\end{cases}$，得到$x_2=1.5$，$x_3=2.5$，都是正数，所以$(0,1.5,2.5)$是一个有效顶点。

另外你可能会问：有没有非零分量少于m的顶点？比如只有1个非零分量？咱们试一下：

• 设$x_2=x_3=0$，代入第二个方程得$x_1=3$，但第一个方程是$3+0+0=3≠4$，不满足$Ax=b$，不是解；
• 设$x_1=x_3=0$，第二个方程得$x_2=1.5$，第一个方程是$0+1.5+0=1.5≠4$，不满足；
• 设$x_1=x_2=0$，第一个方程得$x_3=4$，第二个方程是$0+0=0≠3$，不满足。

所以这个例子里只有2个有效顶点，是从3个候选里筛选出来的——这也对应了我之前说的：组合数是最大可能的候选数，实际有效顶点数量可能更少。

再回到你提到的单个平面（$m=1$，$n=3$）的例子：约束$x_1+x_2+x_3=4$，$x\geq0$。这时候选1个变量非零，另外两个为0，得到的$(4,0,0)$、$(0,4,0)$、$(0,0,4)$都是有效顶点，正好是$C(3,1)=3$个，完全符合公式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1049492