我最近在研究一类随机积分的路径性质，想请教大家一个问题：是否存在针对合适的连续函数$f : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$的必要和/或充分条件，能让我们判断过程
$$X_t := \int_0^t f(t-s) dW_s$$
是否具有路径可微性？

这个问题是我在分析一组随机微分方程时萌生的，那组SDE如下：
\begin{align}
dX_t &= Y_t dt \\
dY_t &= -X_t dt + b dW_t
\end{align}
当初始条件取$X_0 = Y_0 = 0$时，我求出了对应的解：
\begin{align}
X_t &= b \int_0^t \sin(t-s) dW_s \\
Y_t &= b \int_0^t \cos(t-s) dW_s \\
\end{align}

有意思的是，从SDE本身以及解的路径连续性可以很清楚地看出，$X_t$是路径可微的（它的导数就是$Y_t$），但$Y_t$却不具备路径可微性。不过单看这两个积分的形式时，我完全没直观感受到这种差异，这也让我对这类积分的路径可微性条件产生了好奇！

我已经了解一些相关背景：

• 我知道如果把积分里的$f(t-s)$换成$f(s)$的话，我们没法指望对应的过程有路径可微性。
• 另外，对于那种在整个实轴上积分的白噪声卷积形式：
  \begin{equation}
  Y_t := \int_{-\infty}^\infty f(t-s) dW_s
  \end{equation}
  当$f$的傅里叶变换的平方在$|k| \rightarrow \infty$时衰减速度快于$|k|^{{-1}$（这个平方值就是$Y$的谱密度），那么$Y_t$是路径可微的。不过我觉得这个结果可能不适用于我们现在讨论的半无限区间积分的情况，而且$\sin$和$\cos$本身也不属于$L}1$空间，这也让我不确定能不能直接套用那个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Julius