嘿，我来帮你拆解这两个疑惑点，一步步捋清楚就明白了～

第一个不等式：为什么 $\lfloor \lg(a)\rfloor + 1 \leq \lfloor \frac{\lg(n + 1)}{2} \rfloor + 1$？ #

哦对了，这里大概率是输入时的小失误——原证明里的正确形式应该是 $\lfloor \lg\left(\frac{n+1}{2}\right) \rfloor$（对数的真数是 $(n+1)/2$，不是把 $\lg(n+1)$ 除以2），不然逻辑上会说不通。咱们按正确的形式来解释：

当合并两个秩相等的集合时，设它们的大小分别为 $a$ 和 $b$，必然满足 $a + b = n+1$（合并后总节点数是 $n+1$）。我们不妨假设 $a \leq b$（对称情况，不影响结论），那 $a$ 的最大值就是 $(n+1)/2$（当 $a=b$ 时取到）。

因为对数函数 $\lg(x)$ 是单调递增的，所以 $\lg(a) \leq \lg\left(\frac{n+1}{2}\right)$。两边同时取向下取整（$\lfloor \cdot \rfloor$），不等号方向保持不变，就得到 $\lfloor \lg(a)\rfloor \leq \lfloor \lg\left(\frac{n+1}{2}\right) \rfloor$。最后两边加1，就有了 $\lfloor \lg(a)\rfloor + 1 \leq \lfloor \lg\left(\frac{n+1}{2}\right) \rfloor + 1$。

第二个问题：$\lfloor \lg\left(\frac{n+1}{2}\right) \rfloor + 1$ 是否等于 $\lfloor \lg(n+1) \rfloor$？ #

答案是肯定的，咱们来推导一下：
根据对数的运算法则，$\lg\left(\frac{n+1}{2}\right) = \lg(n+1) - \lg2 = \lg(n+1) - 1$（因为 $\lg2=1$）。

对于任意实数 $x$，$\lfloor x - 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor - 1$（向下取整后减1，整数部分刚好减1，小数部分不影响）。所以：
$$\lfloor \lg\left(\frac{n+1}{2}\right) \rfloor + 1 = \lfloor \lg(n+1) - 1 \rfloor + 1 = (\lfloor \lg(n+1) \rfloor - 1) + 1 = \lfloor \lg(n+1) \rfloor$$

举几个例子验证下：

• 当 $n+1=5$ 时，$\lg5≈2.32$，$\lg(5/2)=\lg2.5≈1.32$，$\lfloor1.32\rfloor+1=1+1=2$，而 $\lfloor2.32\rfloor=2$，相等；
• 当 $n+1=3$ 时，$\lg3≈1.58$，$\lg(3/2)=\lg1.5≈0.58$，$\lfloor0.58\rfloor+1=0+1=1$，$\lfloor1.58\rfloor=1$，也相等。

这样整个推导链就通顺啦：$\lfloor \lg(a)\rfloor + 1 \leq \lfloor \lg\left(\frac{n+1}{2}\right) \rfloor + 1 = \lfloor \lg(n+1) \rfloor$，也就证明了合并后的秩不超过 $\lfloor \lg(n+1) \rfloor$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hugh Mann