嘿，你观察到的这两个关于素数项重一数的性质确实很有意思，咱们一个个来拆解清楚~

第一个性质：若n是素数，则n整除R(n-1) #

首先得明确重一数的表达式：$R(m) = \frac{10^m - 1}{9}$，也就是m个1组成的数。

你猜的没错，这个性质确实和费马小定理直接相关，但要补充一点前提：n是不等于2、3、5的素数（这几个素数是特例，比如n=3时，R(2)=11，显然不能被3整除；n=2、5时，重一数全是1，肯定也没法被2或5整除）。

当n是不等于2、3、5的素数时，10和n是互质的（因为n既不是2也不是5）。根据费马小定理，对于互质的a和p（p是素数），有$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$。这里代入a=10，p=n，就得到$10^{n-1} \equiv 1 \mod n$，移项后就是$10^{n-1} - 1 \equiv 0 \mod n$。

而$10^{n-1} - 1 = 9 \times R(n-1)$，所以$9 \times R(n-1) \equiv 0 \mod n$。因为n≠3，9和n互质，所以可以两边同时除以9，就得到$R(n-1) \equiv 0 \mod n$，也就是n整除R(n-1)，这就解释了第一个性质~

第二个性质：若n是素数，则R(n)的素因子都形如$n \times k + 1$ #

同样从R(n)的表达式出发：如果p是R(n)的素因子，那么$\frac{10^n - 1}{9} \equiv 0 \mod p$，也就是$10^n \equiv 1 \mod p$。这说明10在模p下的阶d整除n（阶的意思是满足$10^d \equiv 1 \mod p$的最小正整数d）。

因为n是素数，所以d只能是1或者n：

• 如果d=1，那意味着$10 \equiv 1 \mod p$，也就是p整除9，所以p=3。这是个特例：当n=3时，R(3)=111=3×37，3本身不满足$3=3k+1$，但另一个因子37是符合的；而当n是其他素数时，R(n)的数字和是n，不是3的倍数，所以R(n)不能被3整除，也就不会出现这个特例。
• 如果d=n，根据费马小定理，$10^{p-1} \equiv 1 \mod p$，所以阶d必须整除p-1，也就是n整除p-1，写成式子就是$p = n \times k + 1$，这就正好是你观察到的形式。

比如你举的n=17的例子，两个素因子都满足$17k+1$，完全符合这个推导~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vikter