其实这个结论并不成立，我们可以通过构造反例来直接说明这一点，先给你一个最直观的例子：

我们定义函数 ( f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} ) 如下：

• 当 ( n = k^2 )（k是正整数）时，令 ( f(k^2) = k )
• 对于其他所有非平方数的n，令 ( f(n) = f(n-1) )

我们来验证这个函数满足前提但不满足结论：

1. 首先看 ( \frac{f(n)}{n}\to0 )：
   对任意给定的 ( \varepsilon>0 )，取 ( K = \lceil 1/\varepsilon \rceil )，当 ( n > K^2 ) 时，设 ( k^2 \leq n < (k+1)^2 )，此时 ( f(n) = k )，而 ( n \geq k^2 )，所以 ( \frac{f(n)}{n} \leq \frac{k}{k^2} = \frac{1}{k} < \frac{1}{K} \leq \varepsilon )，完全符合极限为0的定义。
2. 再看增量 ( f(n+1)-f(n) )：
   当 ( n = k^2 - 1 ) 时，( f(k^2) - f(k^2-1) = k - 0 = k )，随着k不断增大，这个增量会趋向无穷大，显然不可能收敛到0。

如果你想要一个更“平滑”的反例，也可以考虑 ( f(n) = \sqrt{n}\sin(\sqrt{n}) )：

• 首先 ( \frac{f(n)}{n} = \frac{\sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} )，因为正弦函数有界（绝对值不超过1），分母 ( \sqrt{n} ) 趋向无穷，所以这个比值的极限是0。
• 计算增量 ( f(n+1)-f(n) )，利用泰勒展开或者均值定理可以发现，这个增量的绝对值不会趋向0，而是会在某个区间内持续振荡，始终有取值远离0的情况。

你之前提到的两种特殊情况（解析函数、( \varepsilon_n = f(n)/n ) 单调递减）之所以成立，是因为这些额外条件限制了函数的增长模式，排除了这种“不均匀跳跃”或者振荡的可能性，但在一般的次线性函数情形下，只要我们能让函数的增长集中在某些点上，就可以构造出满足 ( \frac{f(n)}{n}\to0 ) 但增量不收敛到0的例子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xyz