嘿，我来给你梳理下思路，这个问题核心就是结合**微积分基本定理（FTC）**和绝对值的几个关键性质，一步步拆解就好啦：

1. 先利用微积分基本定理，对于任意$a,b \in (0,1)$，我们有：
   $$f(a) - f(b) = \int_b^a f'(x)dx$$

2. 回忆绝对值的三角不等式变形：$|f(a)| - |f(b)| \le |f(a) - f(b)|$，这个是三角不等式$|x - y| \ge | |x| - |y| |$的直接推论，取其中非负的一侧就得到这个式子。

3. 把第一步的结果代入第二步，就能得到：
   $$|f(a)| - |f(b)| \le \left| \int_b^a f'(x)dx \right|$$

4. 再用积分的绝对值性质：积分的绝对值不超过绝对值的积分，也就是：
   $$\left| \int_b^a f'(x)dx \right| \le \int_b^a |f'(x)|dx$$
   这个性质对任意可积函数都成立，这里因为$f$在$(0,1)$可导，所以$f'$可积，完全适用。

5. 最后，注意到$|f'(x)|$是非负函数，积分区间$[b,a]$（或者$[a,b]$，取决于$a$和$b$的大小）是$[0,1]$的子集，非负函数在更大区间上的积分值不会更小，因此：
   $$\int_b^a |f'(x)|dx \le \int_0^1 |f'(x)|dx$$

把这几步连起来，就得到了要证明的不等式：
$$|f(a)| - |f(b)| \le \int^1_0|f'(x)|dx$$

其实每一步都是基础的微积分和绝对值性质，你可以自己再顺着推导一遍，加深理解哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user857163