题目内容：设△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，M、N分别是BC、AC的中点，G是AM与BN的交点。在AB上取点P满足$\frac{BM}{BP}=2$，BN与CP交于Q，求证：$PA\cdot BP=BQ\cdot BG$。

我的思路和尝试 #

我先画了对应的辅助图，目前想到了几个方向，但都卡在了后半段：

• 中位线性质方向：MN是△ABC的中位线，理论上可以利用它平行于AB且长度为AB一半的特性，但暂时没找到合适的切入方式
• 重心特性方向：观察图形发现G是两条中线的交点，也就是△ABC的重心，由此可以推导得出：
  • $BG=\frac{2\cdot BN}{3}$
  • 因为$\frac{BM}{BP}=2$，而M是BC中点，BC=AB（等腰直角三角形的直角边相等），所以$BM=\frac{AB}{2}$，进而算出$PB=\frac{AB}{3}$
  • 由此可得$PA\cdot BP = (AB - BP)\cdot BP = \frac{2AB}{3}\cdot\frac{AB}{3} = \frac{2AB^2}{9}$，我原本想设AB为x，再计算$BQ\cdot BG$的值来验证等式，但卡在了BQ的长度推导上
• 泰勒斯定理方向：尝试在△ABM中应用泰勒斯定理，好像能推出PG平行于BM，但得到这个结论后，不知道怎么和后续的Q点、CP线段关联起来

有没有大佬能给点后续推导的思路或者新的解题方向呀？万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1104319