大家好，我最近在做Michael Steele《Stochastic Calculus and Financial Applications》里的习题13.1，卡在了用Girsanov定理推导两个渐近期望的步骤上，想请教一下各位的思路。

题目背景 #

这是Michael Steele所著《Stochastic Calculus and Financial Applications》中的习题13.1。

我们的目标是用Girsanov定理证明：当$T\to\infty$（且$\mu>0$）时，
$$
\mathbb{E}\left[e^{-\mu B_T}\max_{t\in[0,T]} B_t\right]\sim \frac{e^{\mu2 T/2}}{2\mu}\quad\text{and}\quad \mathbb{E}\left[e^{\mu B_T}\max_{t\in[0,T]} B_t\right]\sim \mu T e^{\mu2 T/2},
$$
其中${B_t}$是标准布朗运动。

我的尝试（针对第一个关系式） #

我先尝试推导第一个渐近关系，步骤如下：

• 记$\mathbb{P}$为标准布朗运动${B_t}$的概率测度，定义过程$W_t = B_t - \mu t$，同时定义测度变换：
  $$
  d\mathbb{Q} = \exp\left(-\mu B_T - \frac{1}{2}\mu^2 T\right) d\mathbb{P}.
  $$
• 根据Girsanov定理，${W_t}$是测度$\mathbb{Q}$下的布朗运动。基于此，我把原期望转化为了：
  $$
  \mathbb{E}^{{\mathbb{P}}\left[e}{-\mu B_T}\max_{t\in[0,T]} B_t\right] = e^{{\frac{1}{2}\mu}2 T} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\max_{t\in[0,T]} (W_t + \mu t)\right].
  $$

卡住的地方 #

到这一步我就不知道该怎么继续了——完全摸不着头绪怎么从右边的$\mathbb{Q}$测度下的期望，推导出当$T\to\infty$时的渐近等价关系。

有没有大佬能给点提示或者拆解一下后续的步骤呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathmd