嘿，这个问题问到自由概率论里最经典的组合-分析对应关系上了！咱们一步步把它捋清楚：

首先先明确两个关键对象：

• $NC_2(p)$的大小：当$p$是偶数（设$p=2n$）时，$NC_2(p)$指的是$p$个元素的非交叉配对集合——就是把$2n$个点排成一圈（或直线，计数结果一致），两两配对且配对线段不交叉的所有方式。这个集合的大小正好是第$n$个Catalan数：$C_n = \frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$，你用Mathematica验证的前几项一致就是这个原因。
• 右边的积分：这是Wigner半圆弧分布的$p$阶矩。这个分布是自由概率论里的核心分布（类似经典概率论里的正态分布），密度函数就是$\frac{1}{2\pi}\sqrt{4-x^2}$，支撑区间是$[-2,2]$。

为什么两者相等？有两种直观的解释路径： #

1. 直接计算积分，验证结果等于Catalan数

咱们做个变量代换：令$x=2\cos\theta$，那么$dx=-2\sin\theta d\theta$，当$x$从$-2$到$2$时，$\theta$从$\pi$到$0$。代入积分后化简：
$$
\begin{align*}
\frac{1}{2\pi}\int_{-2}^2xp\sqrt{4-x^2}dx &= \frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{0(2\cos\theta)}{2n} \cdot 2\sin\theta \cdot (-2\sin\theta)d\theta \
&= \frac{2^{{2n+1}}{\pi}\int_0}\pi\cos^{{2n}\theta(1-\cos}2\theta)d\theta
\end{align*}
$$
利用三角函数积分的递推公式或Beta函数转换，最终这个积分的结果正好就是第$n$个Catalan数$C_n$，也就是$|NC_2(2n)|$。

2. 自由概率论的核心组合对应

这才是BBvH这段内容的真正意图：自由随机变量的矩可以用非交叉划分来计算（这是自由性的组合刻画）。对于自由半圆弧族来说，它的$p$阶矩恰好等于$p$个元素的非交叉配对数——这就像经典正态分布的矩对应交叉配对（所有配对方式，数量是$(2n-1)!!$），而自由性用非交叉结构替代了交叉结构，所以矩的计数也变成了非交叉配对数。

另外你提到的维基百科的$NC$：没错，维基里的$NC$一般就是非交叉划分，$NC_2$特指每个块大小都是2的非交叉划分（也就是非交叉配对），和BBvH里的定义完全一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zjs