嘿，咱们先从你尝试计算的这个极限说起，再一步步拆解为什么$0^\infty$不算不定式～

先算$\boldsymbol{\lim _{x \rightarrow 0} x^{\frac{1}{x}}}$的左右极限 #

• 右极限（$x \rightarrow 0^+$）：
  当x从正数方向趋近于0时，$\frac{1}{x}$趋向正无穷大。我们可以把原式改写为指数形式：
  $$x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln x}{x}}$$
  当$x \rightarrow 0^+$时，$\ln x$趋向负无穷，$x$趋向0+，所以$\frac{\ln x}{x}$是负无穷除以趋近于0的正数，结果趋向负无穷。而$e^{-\infty} = 0$，所以右极限是0。

• 左极限（$x \rightarrow 0^-$）：
  当x从负数方向趋近于0时，$x$是负数，$\frac{1}{x}$是负无穷。这时候$x^{\frac{1}{x}}$在实数范围内其实没有明确的定义：比如取$x=-t$（$t \rightarrow 0^{+$），原式变为$(-t)}{-\frac{1}{t}} = \frac{1}{(-t)^{{\frac{1}{t}}}$，而$(-t)}{\frac{1}{t}} = (-1)^{\frac{1}{t}} \cdot t^{{\frac{1}{t}}$，其中$(-1)}{\frac{1}{t}}$会随着$t$趋近于0在1和-1之间无限振荡，没有确定的取值，所以左极限在实数域内不存在。

  这也就验证了你说的“左右极限不相等，整体极限不存在”的结论。

为什么$\boldsymbol{0^\infty}$不是不定式？ #

首先得明确：不定式的核心是“极限结果不确定”——比如$\frac{0}{0}$、$\frac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$这些形式，不同的函数组合会算出完全不同的极限值，没有固定结果。

而$0^\infty$的情况不一样：这里的“0”特指从正数方向趋近于0的函数（负数的情况大多无实数定义），“$\infty$”是趋向正无穷的函数。我们同样把它转化为指数形式：
$$f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}$$
当$f(x) \rightarrow 0^+$时，$\ln f(x) \rightarrow -\infty$；同时$g(x) \rightarrow +\infty$，那么$g(x) \cdot \ln f(x)$就是正无穷乘以负无穷，结果必然趋向$-\infty$，最终$e^{-\infty} = 0$。

不管你用什么样的$f(x)$（趋向0+）和$g(x)$（趋向+∞）组合，这个极限结果都是确定的0，不会出现多种可能。正因为结果唯一，所以$0^\infty$不属于不定式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sohit Jatain