嘿，我来帮你把这个点捋明白！你用AM≥GM算出$c \geq 56$完全没问题，但那只是当$\frac{16x}{y}$和$\frac{49y}{x}$都是正数时的结论——咱们还得考虑这两个项为负数的情况呀！

首先得记住，AM≥GM的核心前提是：所有参与运算的数必须是非负数。那如果$\frac{16x}{y}$和$\frac{49y}{x}$都是负数（也就是x和y异号的时候），这时候直接用AM≥GM就不适用了，但咱们可以换个思路：把负号提出来，让里面的数变成正数。

具体操作一下：

• 设$a = -\frac{16x}{y}$，$b = -\frac{49y}{x}$，这时候a和b都是正数，满足AM≥GM的条件。
• 对a、b应用AM≥GM：$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
• 把a和b代回去：$\frac{(-\frac{16x}{y}) + (-\frac{49y}{x})}{2} \geq \sqrt{(-\frac{16x}{y})(-\frac{49y}{x})}$
• 先算右边：根号里的负负得正，$\frac{16x}{y} \times \frac{49y}{x} = 16×49=784$，开根号后是28。
• 左边化简就是$\frac{ -(\frac{16x}{y} + \frac{49y}{x}) }{2} = \frac{-c}{2}$

把两边代入不等式后就得到：$\frac{-c}{2} \geq 28$
两边乘2：$-c \geq 56$
最后两边乘-1（注意不等号方向要反转）：$c \leq -56$

另外再补充一下等号成立的条件：

• 当$c \geq 56$时，等号成立当且仅当$\frac{16x}{y} = \frac{49y}{x}$，也就是$4x=7y$（此时x和y同号）；
• 当$c \leq -56$时，等号成立当且仅当$-\frac{16x}{y} = -\frac{49y}{x}$，也就是$4x=-7y$（此时x和y异号）。

这样一来，c的完整取值范围就是$c \leq -56$或$c \geq 56$啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ganit