你这思路完全没问题啊！反向证明的核心就是构造这个由生成元映射诱导的同态，你走的路子特别标准，每一步的逻辑都很顺畅：

• 同态的良定义性：这里你可能没特意展开，但其实是证明里的关键细节——如果$r_1x = r_2x$，那么$(r_1 - r_2)x = 0$，也就是$r_1 - r_2 \in Ann_R(x)$，而根据题设$Ann_R(x)=Ann_R(y)$，所以$(r_1 - r_2)y = 0$，即$r_1y = r_2y$，这就保证了$\phi(rx)=ry$这个映射不会因为$rx$的表示方式不同而产生歧义，补上这点的话整个证明会更严谨。
• 单射的证明：你通过核为零来证单射的逻辑完全正确——假设$\phi(r_0x)=0$，推出$r_0y=0$，利用零化子相等得到$r_0x=0$，完美命中单射的判定条件。
• 满射的证明：利用$Y$是循环模的性质，任意元素都能写成$ry$的形式，直接找到对应的原像$rx$，这个推导简洁又准确。
• R-模同态的验证：你提到这部分straightforward确实没错——$\phi(r_1x + r_2x) = \phi((r_1+r_2)x) = (r_1+r_2)y = r_1y + r_2y = \phi(r_1x) + \phi(r_2x)$，还有$\phi(s(rx)) = (sr)y = s(ry) = s\phi(rx)$，这两条性质很容易验证，确保了映射是模同态。

整体来看，你的反向证明逻辑已经闭环了，完全是正确的路子，不用怀疑自己！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者obitobi_tobias