关于早晚丢硬币损失的期望、方差及相关系数的计算问询
嘿，我碰到这么一个概率题，想请大家帮忙梳理下思路，看看怎么继续往下算：
每天一个孩子口袋里装7枚£1硬币和9枚£2硬币。早上他会丢3枚硬币，当天晚上再丢5枚硬币。需要计算他早上损失的期望E(X)、方差D(X)，以及早晚损失之间的相关系数。
我自己先搞定了早上损失的计算部分，过程大概是这样的：
早上损失的计算
孩子早上丢3枚硬币，总损失金额范围是£3到£6，分四种情况：
- 损失£3：丢了3枚£1硬币，组合数是
C(7, 3) = 35 - 损失£4：丢了2枚£1硬币+1枚£2硬币，组合数是
C(7, 2) · C(9, 1) = 189 - 损失£5：丢了1枚£1硬币+2枚£2硬币，组合数是
C(7, 1) · C(9, 2) = 252 - 损失£6：丢了3枚£2硬币，组合数是
C(9, 3) = 84
总共有C(16, 3) = 560种丢3枚硬币的组合方式。
所以早上损失的期望：
$$E(X) = 3 · \frac{35}{560} + 4 · \frac{189}{560} + 5 · \frac{252}{560} + 6 · \frac{84}{560} = 4.6875$$
方差的话：
$$D(X) = 3^2 · \frac{35}{560} + 4^2 · \frac{189}{560} + 5^2 · \frac{252}{560} + 6^2 · \frac{84}{560} - (4.6875)^2 ≈ 0.6398 $$
但是到了晚上损失的计算，我就卡住了——因为早上已经丢了一些硬币，晚上剩下的硬币数量完全取决于早上的损失情况，比如早上如果丢了3枚£1，晚上就不可能再丢5枚£1了。而且最关键的是，我不知道该怎么计算早晚损失之间的相关系数。
后来看了一些回复，我尝试着手算晚上损失的情况，比如先算晚上损失£5的概率，过程是这样的：
晚上损失£5的概率计算（尝试版）
需要分四种早上损失的情况来分别计算条件概率，再合并（这里我修正了之前的一个计算错误，把对应情况的早上概率写对了）：
情况1：早上丢了3枚£1硬币
- 剩余硬币：4枚£1，9枚£2
- 晚上损失£5的组合：3枚£1+1枚£2，或者1枚£1+2枚£2，组合数是
C(4, 3) ⋅ C(9, 1) + C(4,1) ⋅ C(9, 2) = 180 - 晚上丢5枚硬币的总组合数是
C(13, 5) - 该情况的联合概率：$\frac{35}{560} ⋅ \frac{180}{1287} = \frac{5}{572}$
情况2：早上丢了2枚£1+1枚£2硬币
- 剩余硬币：5枚£1，8枚£2
- 晚上损失£5的组合：5枚£1，或者3枚£1+1枚£2，或者1枚£1+2枚£2，组合数是
C(5, 5) + C(5, 3) ⋅ C(8, 1) + C(5,1) ⋅ C(8, 2) = 221 - 联合概率：$\frac{189}{560} ⋅ \frac{221}{1287} = \frac{51}{880}$
情况3：早上丢了1枚£1+2枚£2硬币
- 剩余硬币：6枚£1，7枚£2
- 晚上损失£5的组合：5枚£1，或者3枚£1+1枚£2，或者1枚£1+2枚£2，组合数是
C(6, 5) + C(6, 3) ⋅ C(7, 1) + C(6,1) ⋅ C(7, 2) = 272 - 联合概率：$\frac{252}{560} ⋅ \frac{272}{1287} = \frac{68}{715}$
情况4：早上丢了3枚£2硬币
- 剩余硬币：7枚£1，6枚£2
- 晚上损失£5的组合：5枚£1，或者3枚£1+1枚£2，或者1枚£1+2枚£2，组合数是
C(7, 5) + C(7, 3) ⋅ C(6, 1) + C(7,1) ⋅ C(6, 2) = 336 - 联合概率：$\frac{84}{560} ⋅ \frac{336}{1287} = \frac{28}{715}$
把这些概率加起来，晚上损失£5的总概率是：
$$\frac{5}{572} + \frac{51}{880} + \frac{68}{715} + \frac{28}{715} = \frac{209}{1040}$$
按照这个思路，我还需要继续计算晚上损失£6、£7、£8、£9、£10的概率，但总觉得这个方法太繁琐了，而且还是不知道怎么算相关系数。有没有更高效的方法？或者有没有人能指点下相关系数的计算思路？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者flowing
