各位研究数论或者拉马努金函数的大佬们，我最近碰到一个关于拉马努金θ函数的猜想恒等式，想请教下具体的证明思路或者方法。先把相关的定义和背景给大家梳理清楚：

按照拉马努金的定义，我们将θ函数定义如下：
$$
\begin{aligned}
\chi(q)&:=\prod_{n = 1}^{{\infty}\left(1+q}{2n-1}\right),\
\phi(q)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q{n^2},\
\psi(q)&=\sum_{n = 0}^{\infty}q{\frac{n(n+1)}{2}},\
\text{以及}\
f(-q)&=\sum_{n =-\infty}^{\infty}(-1)n q^{\frac{n(3n-1)}{2}}
\end{aligned}
$$
其中 $|q|\lt1$，这些定义基于拉马努金的一般θ函数三重积公式：
$$
f(a,b)=\sum_{n =-\infty}^{\infty} a^{{\frac{n(n-1)}{2}}b}{\frac{n(n+1)}{2}}=(-a;ab)\infty(-b;ab)\infty(ab;ab)_\infty
$$

q-波赫哈默尔符号（q-pochhammer symbol）的标准定义为：
$$
(a;q)\infty=\prod{n = 1}^{{\infty}\left(1-aq}{n-1}\right)
$$

现在我想请教的是，如何证明下面这个猜想的恒等式：
$$
\dfrac{\chi^9(q)}{\chi3(q^{3)}+8=9\dfrac{\phi}3(q^{3)}{\phi(q)}\cdot\dfrac{\psi(-q}3)}{\psi^3(-q)}
$$

另外，这个等式右边除以9之后的展开式，在OEIS的相关条目里可以找到对应的序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nicco