嘿，你已经把分子部分搞定了，真不错！先确认一下：你推导的分子$x^{{4m+1}$完全正确——当m=1时对应$x}5$，m=2时是$x^{9$，m=3时是$x}{13}$，完美匹配序列里的每一项。

接下来看分母，你已经观察到它是5、5×9、5×9×13这样的连乘积，本质上是从5开始，每次递增4的连续m个整数的乘积。我们可以用几种方式来表达它：

1. 最直观的连乘积形式 #

直接用乘积符号写出规律，这也是最容易理解的形式：
$$
\text{第m项分母} = \prod_{k=1}^m (4k + 1)
$$
验证一下：

• m=1时，$\prod_{k=1}^1 (4k+1)=4×1+1=5$，符合；
• m=2时，$\prod_{k=1}^2 (4k+1)=5×9=45$，符合；
• m=3时，$\prod_{k=1}^3 (4k+1)=5×9×13=585$，完全匹配。

2. 用Pochhammer上升阶乘符号简化 #

如果你想让表达式更紧凑，可以使用Pochhammer上升阶乘符号（$(a)_m$，也叫递增阶乘），它的定义是：
$$
(a)m = a(a+1)(a+2)\dots(a+m-1)
$$
对于我们的分母，每一项可以拆成$4k+1=4\left(k+\frac{1}{4}\right)$，所以连乘积可以转化为：
$$
\prod{k=1}^m (4k + 1) = 4^m \left( \frac{5}{4} \right)_m
$$
代入验证的话，$\left(\frac{5}{4}\right)_m = \frac{5}{4}×\frac{9}{4}×\dots×\frac{4m+1}{4}$，乘以$4^m$之后正好抵消分母的4，得到5×9×…×(4m+1)，完全正确。

3. 伽马函数形式（适合进阶场景） #

如果需要用到分析领域的表达，还可以用伽马函数$\Gamma(z)$来表示（伽马函数满足$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$）：
$$
\prod_{k=1}^m (4k + 1) = \frac{4^m \Gamma\left(m + \frac{5}{4}\right)}{\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)}
$$
这个形式和Pochhammer符号的表达式是等价的，因为Pochhammer符号本身就可以用伽马函数定义：$(a)_m = \frac{\Gamma(a+m)}{\Gamma(a)}$。

最终通项公式 #

结合你已经搞定的分子，整个序列的第m项（m=1,2,3,...）可以写成：
$$
\frac{x^{{4m+1}}{\prod_{k=1}}m (4k+1)}
$$
或者用更紧凑的Pochhammer形式：
$$
\frac{x^{4m+1}}{4m \left( \frac{5}{4} \right)_m}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jack