嗨，我完全懂你现在的纠结——靠图像猜聚点虽然直观，但数学上必须用严谨的推导来确认唯一性对吧？咱们一步步来把这个问题说透：

首先先明确已知条件：

• 函数$f(z)=\cos\left(\frac{1+z}{1-z}\right)$，定义域是单位开圆盘$B(0,1)$
• $f^{-1}(0)$的元素是解方程$\cos\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=0$得到的，我们知道$\cos(w)=0$当且仅当$w=(2n+1)\frac{\pi}{2}$（$n\in\mathbb{Z}$），解这个关于$z$的方程：
  $$\frac{1+z}{1-z}=(2n+1)\frac{\pi}{2}$$
  整理后得到$z_n=\frac{(2n+1)\pi - 2}{(2n+1)\pi + 2}$，也就是你给出的集合$\left{ \frac{(2n+1)\pi-2}{(2n+1)\pi+2} \Big| n\in\mathbb{Z} \right}$

接下来我们分两步证明1是这个集合的唯一聚点：

第一步：证明1是聚点 #

分别计算$n\to+\infty$和$n\to-\infty$时$z_n$的极限：

1. 当$n\to+\infty$时：
   $$\lim_{n\to+\infty} z_n = \lim_{n\to+\infty} \frac{(2n+1)\pi - 2}{(2n+1)\pi + 2} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1 - \frac{2}{(2n+1)\pi}}{1 + \frac{2}{(2n+1)\pi}} = 1$$
2. 当$n\to-\infty$时，令$k=-n-1$（此时$k\to+\infty$），则$(2n+1)=-(2k+1)$，代入$z_n$得：
   $$z_n=\frac{-(2k+1)\pi -2}{-(2k+1)\pi +2}=\frac{(2k+1)\pi +2}{(2k+1)\pi -2}$$
   计算极限：
   $$\lim_{k\to+\infty} z_n = \lim_{k\to+\infty} \frac{1 + \frac{2}{(2k+1)\pi}}{1 - \frac{2}{(2k+1)\pi}} = 1$$
   这说明存在两个子列都收敛到1，根据聚点定义，1是$f^{-1}(0)$的聚点。

第二步：证明不存在其他聚点 #

假设存在另一个聚点$a\neq1$，根据聚点的定义：$a$的任意邻域内都包含$f^{-1}(0)$中无穷多个点，也就是存在子列${z_{n_k}}$收敛到$a$。

我们从$z_n$的表达式反推：由$z_n=\frac{(2n+1)\pi -2}{(2n+1)\pi +2}$，可以解出：
$$(2n+1)\pi = \frac{2(1+z_n)}{1-z_n}$$
如果子列${z_{n_k}}\to a\neq1$，那么右边$\frac{2(1+a)}{1-a}$是一个有限复数（因为$a\neq1$，分母不为0），但左边$(2n_k+1)\pi$当$n_k\to\pm\infty$时，模长会趋向于$+\infty$，这显然矛盾——一个趋向无穷的序列不可能收敛到有限值。

我们也可以用邻域的角度验证：对于任意$a\neq1$，取$\epsilon=\frac{|1-a|}{2}>0$，当$|n|$足够大时，$|z_n -1|=\left|\frac{-4}{(2n+1)\pi +2}\right|=\frac{4}{|(2n+1)\pi +2|}$会小于$\epsilon$，这意味着这些$z_n$都落在以1为中心、$\epsilon$为半径的邻域里，而这个邻域和以$a$为中心、$\epsilon$为半径的邻域是不相交的（由三角不等式：$|z_n -a|\geq|1-a|-|z_n-1|>|1-a|-\epsilon=\epsilon$），所以$a$的邻域里最多只有有限个$z_n$，不可能是聚点。

综上，1是$f^{-1}(0)$的唯一聚点，完全不需要依赖图像就能严谨证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者F.R.