嘿，这个问题问得特别好——我当初学线性代数的时候也好奇过这两个结果能不能关联起来，刚好可以梳理一下！

先回顾一下你提到的诺特第一同构定理：如果$f: V\to W$是线性映射，那么$V/\text{Ker}(f)$和$\text{Im}(f)$是同构的。而你说的有限维空间$V$和它的对偶空间$V^{*$同构，通常是用“维数相同则同构”来证，但确实可以用诺特第一同构定理来推导，不过有个关键前提：**这个结论只在$V$是有限维向量空间时成立**，无限维的话$V$和$V}*$并不同构，这点得先明确。

接下来具体说怎么用诺特定理来证：

我们需要构造一个线性映射$\phi: V \to V^{*$，然后证明它的核$\text{Ker}(\phi)$是零空间，并且它的像$\text{Im}(\phi)$是整个$V}$。这样根据诺特第一同构定理，$V/\text{Ker}(\phi) = V/{0} \cong \text{Im}(\phi) = V^$，自然就得到了$V \cong V^*$。

那怎么构造这个$\phi$呢？其实可以借助基来构造（这也是最直接的方式）：

• 假设$V$是$n$维的，取一组基${v_1, v_2, ..., v_n}$，对应的对偶基是${v_1^, v_2^, ..., v_n^{*}$（其中$v_i}*(v_j) = \delta_{ij}$，也就是克罗内克函数，当$i=j$时为1，否则为0）。
• 定义线性映射$\phi: V \to V^{*$，把每个基向量$v_i$映射到对应的对偶基向量$v_i}$，然后线性扩展到整个$V$：$\phi\left(\sum_{i=1}^n a_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i v_i^$。

现在验证这个映射的性质：

1. 核是零空间：如果$\phi(v) = 0$，设$v = \sum a_i v_i$，那么$\sum a_i v_i^* = 0$。对任意基向量$v_j$，这个零泛函作用在$v_j$上的结果是$\sum a_i v_i^*(v_j) = a_j = 0$，所以所有$a_j$都是0，即$v=0$，因此$\text{Ker}(\phi) = {0}$。
2. **像是整个$V^{*$**：因为$\phi$把$V$的基映射到$V}$的基，所以$\phi$的像就是由${v_1^, ..., v_n^{*}$张成的空间，也就是整个$V}$（因为对偶基是$V^$的一组基），所以$\text{Im}(\phi) = V^*$。

现在把诺特第一同构定理用在这个$\phi$上：$V/\text{Ker}(\phi) \cong \text{Im}(\phi)$，代入上面的结果就是$V/{0} \cong V^$，而$V/{0}$和$V$本身是自然同构的，所以就得到了$V \cong V^$。

这里得说清楚：本质上还是依赖了“有限维下$V$和$V^*$维数相同”这个事实（因为对偶基的存在本身就基于维数相等），但确实通过诺特第一同构定理把两个结果联系起来了——相当于用诺特定理把“满单线性映射是同构”这个结论做了一次严谨的推导，而满单性的证明又和维数紧密相关。

另外，如果你想找完全不依赖基的方法，其实可以借助二次对偶空间：自然嵌入$\iota: V \to V^{}$（定义为$\iota(v)(f) = f(v)$对所有$f \in V^{*$）在有限维下是同构，而如果用类似的方法（结合诺特定理）证明$V}* \cong V^{}$，那么通过同构的传递性也能得到$V \cong V^*$，不过这绕了个弯，本质逻辑还是一样的。

最后再强调一遍：只有有限维的情况才能这么做，无限维时$V$和$V^*$的维数（作为无限基数）不一样，所以不可能同构，诺特定理也帮不上忙。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者JadMON2k1