最近我在啃范德蒙德恒等式的证明，可因为之前没怎么练过求和符号（Σ）的操作，直接卡在第一步了——就是把两个多项式的乘积用求和符号展开成右边那个式子的部分，完全摸不着头脑：

$$\left(\sum\limits_{i=0}^ma_ixi\right)\left(\sum\limits_{j=0}^nb_jxj\right)=\sum\limits_{r=0}^{{m+n}\left(\sum\limits_{k=0}}r a_kb_{r-k}\right)x^r$$

我特别想搞清楚这几步是怎么推出来的，能不能有人给我一步步拆解一下？还要明确说清楚用到了哪些求和规则或者恒等式。

另外我还有几个具体的疑问：

• 为什么要引入新的索引变量$r$呢？
• 为什么不能直接套用维基百科上列的那个两个求和相乘的规则：$\left(\sum\limits_{i=0}^n a_i\right)\left(\sum\limits_{j=0}^n b_j\right)=\sum\limits_{i=0}^{n\sum\limits_{j=0}}na_ib_j$？

最后，有没有大佬能推荐几本专门练习求和符号（大写Σ）操作的书呀？最好是能系统讲解求和恒等式、多做练习的那种。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jason Xu