嘿，我来帮你一步步拆解这个问题，顺便聊聊这类积分的通用处理策略～

首先看你已经完成的步骤：通过Fubini定理交换积分顺序后，核心是先计算内层的积分：
$$
\int_{\mathbb{R}} e^{i\xi y} \frac{\exp{\left( -\frac{|x-y|^2}{2t} \right)}}{\sqrt{2\pi t}} , \text{d} y
$$
你有没有发现，这个积分里的被积函数其实是均值为x、方差为t的正态分布的概率密度乘以$e^{i\xi y}$？而正态分布$N(\mu, \sigma^2)$的特征函数我们有现成结论：$\exp\left(i\mu\xi - \frac{1}{2}\sigma^2\xi2\right)$。

对应到这里，$\mu=x$，$\sigma^2=t$，所以内层积分的结果直接就是：
$$
\exp\left(i\xi x - \frac{1}{2} t \xi^2\right)
$$

接下来把这个结果代入外层积分，就得到：
$$
\varphi_{p,x}(\xi) = \int_0^{+\infty} p e^{-pt} \cdot \exp\left(i\xi x - \frac{1}{2} t \xi^2\right) , \text{d} t
$$
我们可以把和t无关的项$e^{i\xi x}$提出来，整理指数部分：
$$
\varphi_{p,x}(\xi) = e^{i\xi x} \int_0^{+\infty} p \exp\left( -t \left( p + \frac{\xi^2}{2} \right) \right) , \text{d} t
$$

现在这个外层积分是标准的指数衰减积分，我们知道对于$a>0$，$\int_0^{+\infty} e^{-at} \text{d}t = \frac{1}{a}$。这里$a = p + \frac{\xi^{2}{2}$，显然是正的（因为p是正数，$\xi}2\geq0$），所以计算这个积分：
$$
\int_0^{+\infty} p \exp\left( -t \left( p + \frac{\xi^2}{2} \right) \right) , \text{d} t = p \cdot \frac{1}{p + \frac{\xi^2}{2}} = \frac{2p}{2p + \xi^2}
$$

最后把两部分合起来，就得到最终的特征函数：
$$
\varphi_{p,x}(\xi) = e^{i\xi x} \cdot \frac{2p}{2p + \xi^2}
$$

再说说这类积分的通用策略，你可以记下来：

• 识别已知分布的特征/矩生成函数：很多时候内层积分会对应某个常见分布的特征函数（比如这里的正态分布），先回忆或推导这些现成结果，能大大简化计算；
• 优先处理更简单的内层积分：交换积分顺序后，先算那个有明确公式、形式更标准的积分（比如高斯积分、指数积分），再处理剩下的部分；
• 利用条件期望的视角：这个问题里的密度$f(y)$其实是混合分布——给定$t\sim\text{Exp}(p)$（指数分布），$Y|t\sim N(x,t)$，所以特征函数可以写成$E\left[ E\left[ e^{i\xi Y} | t \right] \right]$，这和你交换积分顺序的思路本质一致，但从概率角度理解可能更直观；
• 整理被积函数到标准形式：把指数部分合并、常数项提取，尽量把积分转化成我们熟悉的标准积分（比如指数积分、Gamma积分、Beta积分等），再套用公式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user515933