嘿，这个问题问得特别到位——很多分析课上老师提到“收敛更快”时可能只是直观带过，但背后其实有非常严谨的数学定义，核心就是用**小o记号（little-o notation）**来刻画的，我给你拆解清楚：

核心正式定义 #

假设我们有两个序列（或者函数，极限场景都适用）$a_n$和$b_n$，它们最终都收敛到同一个极限$L$（可以是任意实数，不过收敛到0的情况最常用来对比快慢）。我们说**$a_n$比$b_n$收敛更快到$L$**，当且仅当：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - L}{b_n - L} = 0$$
用小o记号简化表述就是：$a_n - L = o(b_n - L)$（当$n \to \infty$时）。

通俗化解释与例子 #

这个定义的意思是：当$n$足够大时，$a_n$与极限$L$的差距，相比$b_n$与$L$的差距来说，小到可以完全忽略不计。举两个典型例子：

• 序列$a_n = \frac{1}{n^2}$和$b_n = \frac{1}{n}$，都收敛到0。计算比值：$\frac{1/n^2}{1/n} = \frac{1}{n} \to 0$，所以$a_n$比$b_n$收敛更快到0。直观来看，$n$翻倍时，$1/n$变成原来的1/2，而$1/n^2$变成原来的1/4，确实逼近0的速度快得多。
• 如果极限不是0，比如$a_n = 3 + \frac{1}{n^3}$，$b_n = 3 + \frac{1}{n}$，都收敛到3。此时$\frac{a_n - 3}{b_n - 3} = \frac{1/n^3}{1/n} = \frac{1}{n^2} \to 0$，所以$a_n$依然比$b_n$收敛更快到3。

扩展到函数极限的情况 #

这个定义同样适用于函数趋于某点的极限：比如当$x \to 0$时，$f(x) = x^2$和$g(x) = x$都趋于0，因为$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$，所以$f(x)$比$g(x)$收敛更快到0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TerryStone