嘿，这个问题问到点子上了！完全不用搬出泰勒定理的拉格朗日余项那套复杂内容，咱们用基础的代数推导就能把这事说清楚。

首先，先明确核心：对于n次多项式$p(x)$，它在点$c$处的n阶泰勒多项式定义是：
$$T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{p^{(k)}(c)}{k!}(x - c)^k$$
因为多项式的n+1阶及更高阶导数全是0，所以求和只需要到n项为止。

接下来咱们换个思路，把$p(x)$改写成以$(x - c)$为变量的多项式形式。令$y = x - c$，那么$x = y + c$，代入原多项式后得到$p(y + c)$——这显然是一个关于$y$的n次多项式，咱们可以把它写成：
$$p(y + c) = a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + \dots + a_n y^n$$

现在关键来了：要证明这个展开式就是$p(x)$在$c$点的泰勒多项式，只需要验证系数$a_k = \frac{p^{(k)}(c)}{k!}$就行。

咱们对上面的等式两边求k阶导数，然后代入$y=0$（也就是$x=c$）：

• 左边的k阶导数是$p^{(k)}(y + c)$，代入$y=0$后结果就是$p^{(k)}(c)$；
• 右边的k阶导数呢？低于k次的项求k阶导数后全是0，k次项$a_k y^k$的k阶导数是$k! a_k$，高于k次的项求k阶导数后还会剩下含$y$的因子，代入$y=0$后结果也为0。

把两边联立起来，就得到$p^{(k)}(c) = k! a_k$，也就是$a_k = \frac{p^{(k)}(c)}{k!}$——这正好就是泰勒多项式的系数定义！

因为多项式是有限项的展开，整个过程没有近似，完全是精确相等的，所以$p(y + c)$（也就是用$(x - c)$表示的多项式）就是$p(x)$在$c$点的泰勒多项式，压根不需要用到泰勒定理里的余项分析——毕竟泰勒定理的余项部分主要是用来处理无穷可微的非多项式函数的，多项式本身直接用代数推导就足够严谨了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Barry Smith