你的思路完全找对了方向——从Erdős-Stone-Simonovits定理（针对三角形的情况其实就是Turán定理的渐近形式）出发，确实是证明这个计数结果的核心路径。要得到最终的渐近等式，我们需要分别证明下界和上界，两者结合起来就能完成证明：

第一步：证明下界（无三角形图数量至少是$2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$） #

我们可以构造一类明确的无三角形图来给出下界：取顶点集$V$的一个划分，分成大小为$\lfloor n/2 \rfloor$和$\lceil n/2 \rceil$的两个子集$A$和$B$，形成完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor, \lceil n/2 \rceil}$。

这个完全二部图本身是无三角形的（二部图中不可能有奇环，三角形是3-环，属于奇环），而且它的所有子图也都是无三角形的。我们计算这类子图的数量：

• $K_{\lfloor n/2 \rfloor, \lceil n/2 \rceil}$的边数是$\lfloor n/2 \rfloor \times \lceil n/2 \rceil = \frac{n^2}{4} - O(n)$，其中$O(n)$是一个线性项，相对于$n^{2$来说是$o(n}2)$量级的。
• 每个子图对应边集的一个子集，所以子图总数是$2^{\lfloor n/2 \rfloor \times \lceil n/2 \rceil} = 2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$。

这就证明了无三角形图的数量至少是$2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$。

第二步：证明上界（无三角形图数量至多是$2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$） #

这部分需要结合Turán定理的稳定性版本（Erdős-Simonovits稳定性定理）来精细化计数：

1. 先拆分无三角形图的集合：
   我们把所有无三角形图分成两类：

   • 第一类：边数$\leq (\frac{1}{4} - \varepsilon)n^2$的无三角形图（$\varepsilon$是任意小的正数）；
   • 第二类：边数$> (\frac{1}{4} - \varepsilon)n^2$的无三角形图。

2. 第一类图的数量可以忽略：
   这类图的数量最多是所有边数$\leq (\frac{1}{4} - \varepsilon)n^{2$的图的数量，即$\sum_{k=0}}{(\frac{1}{4} - \varepsilon)n^2} \binom{\binom{n}{2}}{k}$。
   利用熵函数的性质，这个和的上界是$2^{\binom{n}{2} \cdot H\left( \frac{(\frac{1}{4} - \varepsilon)n^2}{\binom{n}{2}} \right)}$，其中$H(x)$是二进制熵函数。计算可得$\frac{(\frac{1}{4} - \varepsilon)n^2}{\binom{n}{2}} = \frac{1}{2} - 2\varepsilon + o(1)$，而$H(\frac{1}{2} - 2\varepsilon) < 1$，因此这个和的量级是$2^{(\frac{1}{2} - \delta)n^{2}$（$\delta>0$），远小于我们的目标上界$2}{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$，当$n$足够大时可以忽略。

3. 第二类图的数量被$2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$控制：
   根据稳定性定理，任何边数接近Turán数$\text{ex}(n,K_3) = (\frac{1}{4} + o(1))n^{2$的无三角形图，都“接近”一个完全二部图——也就是说，它可以通过删除/添加$o(n}2)$条边变成完全二部图$K_{\lfloor n/2 \rfloor, \lceil n/2 \rceil}$。
   对于这类图：

   • 我们先固定顶点划分$A \cup B$（大小为$\lfloor n/2 \rfloor$和$\lceil n/2 \rceil$），划分方式只有常数种；
   • 跨部边（$A$和$B$之间的边）可以任意选择，数量最多是$2^{\lfloor n/2 \rfloor \times \lceil n/2 \rceil} = 2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$；
   • 内部边（$A$内部或$B$内部的边）数量最多是$o(n^{2)$，对应的选择数是$2}{o(n^2)}$（因为边数很少，所有可能的子集数是指数级的小量）。

   因此第二类图的总数最多是$O(1) \times 2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2} \times 2^{o(n2)} = 2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$。

结论 #

结合下界和上界，我们就得到了：$n$个标号顶点上的无三角形图数量是$2^{(\frac{1}{4} + o(1))n^2}$，其中$o(1)$当$n \to \infty$时趋于0。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Piglet