我最近在研究连分数相关的问题，想和大家探讨一下：

首先明确相关定义：我们考虑形如
$$\frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \cdots}}}$$
的连分数，将其记作$[a_1, a_2, a_3, \cdots ]$，其中$(a_1, a_2, \cdots)$是一列正整数（我们讨论的所有连分数的各项均为正整数）。

对于连分数，我们可以定义它的“左移”操作——也就是高斯映射$G$：
$$G([a_1, a_2, a_3, \cdots ]) := [a_2, a_3, a_4, \cdots, ]$$
简单来说就是去掉连分数的第一个项，得到新的连分数。

我的核心问题是：我想构造一个连分数$x := [a_1, a_2, a_3, \cdots ]$，使得它满足
$$\lim_{n \to \infty} G^{2n}(x) = \frac{1}{3}.$$
而且我觉得这个问题其实可以推广到$(0, 1)$区间内的任意数，不只是$\frac{1}{3}$。

不过我现在有点摸不着头绪，既不知道该怎么构造这样的连分数，也不太清楚这种收敛性和高斯映射的偶次迭代之间到底存在什么关联。

我之前猜想，高斯映射的偶次迭代和连分数的渐近分数之间可能有某种联系，但不确定具体是什么。比如我看到过一个结论：有限连分数的所有偶数项渐近分数都小于连分数的值。这里的渐近分数定义是这样的：

• 设$(p_n){n \in \mathbb{N}}$和$(q_n){n \in \mathbb{N}}$是连分数${a_1, a_2, a_3, \cdots }$的渐近分数序列，满足递推关系：
  • $p_0 := 0,\ p_1 := 1,\ p_n := a_n p_{n - 1} + p_{n - 2}\ \text{当}\ n \geq 2$
  • $q_0 := 1,\ q_1 := a_1,\ q_n := a_n q_{n - 1} + q_{n - 2}\ \text{当}\ n \geq 2$
• 对每个$n \geq 1$，都有$\frac{p_n}{q_n} = [a_1, a_2, \cdots, a_n]$
• 同时，序列$\left( \frac{p_{2n}}{q_{2n}} \right)_{n \in \mathbb{N}}$是单调递增的。

那我就有个疑问了：这个结论是不是能推导出序列$(G^{2n}(x))_{n \in \mathbb{N}}$也是单调递增或者递减的呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1134586