我最近碰到了一个关于极坐标玫瑰线的数学问题，推导过程中出现了矛盾，想请大家帮忙梳理清楚：

问题背景与要求 #

给定极坐标下定义的玫瑰线$C$：$r = 2\cos(2\theta)$，其中$\theta \in [0,2\pi]$。问题分为两部分：

• 第一部分：找出$C$上所有点$(x(\theta), y(\theta))$，使得该点处的切线斜率等于$\tan(\theta)$。
• 第二部分：从第一部分的结论推导：不存在以原点为圆心、正半径的圆$S$，使得$C$与$S$在某点处垂直相交。

我的初步理解 #

我原本的逻辑是：如果存在某个$\theta$使得$C$在该点的切线斜率等于$\tan(\theta)$，那第二部分的结论就不成立了——因为直线$y = x\cdot\tan(\theta)$是任何以原点为圆心的圆在$\theta$对应点处的法线方向。所以只有当第一部分没有解，或者解对应的$r=0$（也就是原点）时，第二部分的结论才成立。

我的推导步骤 #

首先将极坐标转换为直角坐标参数方程：

• $x(\theta) = 2\cos(2\theta)\cos(\theta)$
• $y(\theta) = 2\cos(2\theta)\sin(\theta)$

然后利用参数方程求导的方法（通过洛必达法则处理极限，得到$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(\theta)}{x'(\theta)}$），计算出切线斜率后，令其等于$\tan(\theta)$，最终得到等式：
$$\tan(\theta) = \frac{4\cos(2\theta)\sin(\theta)-2\cos(2\theta)\cos(\theta)}{2\cos(2\theta)\sin(\theta)+4\sin(2\theta)\cos(\theta)}$$

我的困惑 #

我尝试用三角恒等式化简这个等式，得到了几个解；后来用Wolfram Alpha验证，得到的解和我自己算的不一样，应该是我化简过程中出错了。但不管怎样，我得到的所有解都不是$r=0$的情况，也就是有4个非原点的点满足条件。这就让我完全困惑了——按照这个结果，第二部分的结论应该不成立才对，但题目明确要求推导第二部分的结论，显然我哪里的逻辑或者推导出现了问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Moosh