咱们一步步来拆解你的问题哈～

首先说你第一个写法$\sum_{i=0}^\frac{n}{2} n+1$的有效性：

• 如果n是偶数，$\frac{n}{2}$是整数，这个求和完全合法！它的意思是从i=0到i=$\frac{n}{2}$（一共$\frac{n}{2}+1$项），每一项都是常数$n+1$，总和就是$(\frac{n}{2}+1)(n+1)$。比如n=4时，上限是2，i取0、1、2三个值，每个项是5，总和就是3×5=15，逻辑完全通顺。另外建议给$n+1$加个括号，写成$\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}} (n+1)$，避免被误解成“先对n求和再加1”，严谨性拉满～
• 如果n是奇数，$\frac{n}{2}$不是整数，这种写法就不严谨了——因为求和的上下限默认得是整数（除非你明确标注取整规则，比如向下取整$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$或者向上取整$\lceil \frac{n}{2} \rceil$），这时候别人没法明确你要加到哪一项，属于定义模糊的情况。

再看你想的替换写法$\sum_{i=0}^n \frac{n+1}{2}$：
这个和原求和并不等价哦～咱们拿具体数值验证：比如n=2，原求和是i从0到1，共2个项，每个项是3，总和是6；而替换后的求和是i从0到2，共3个项，每个项是1.5，总和是4.5，结果明显不一样。问题出在你“加倍项数、减半值”的逻辑里：原求和的项数是$\frac{n}{2}+1$（n为偶数时），而替换后的项数是n+1，这两个并不是两倍的关系，所以总和自然对不上。

如果你的目标是通过调整项数和单项值得到等价表达式，得先明确原求和的项数：
比如如果原求和是想表达$\frac{n}{2}$个$n+1$（而非$\frac{n}{2}+1$个），那可以写成$\sum_{i=1}^{\frac{n}{2}} (n+1)$，总和是$\frac{n}{2}(n+1)$，这时候对应的等价替换可以是$\sum_{i=0}^{n-1} \frac{n+1}{2}$——此时项数是n（刚好是$\frac{n}{2}$的两倍），每项是原项的一半，总和就完全一致了，但前提还是n得是偶数。

最后结合你提到的高斯公式，高斯求和是对变量i求和，而你的例子是对常数求和，这类变形最容易踩坑的点就是项数的准确计数，一定要先把项数捋清楚再调整哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ampersands