问题描述 #

设Q和Q'分别是椭圆焦点S、S'到椭圆上一点P处切线的垂足，椭圆离心率$e=\frac{1}{2}$。已知$SQ=2S'Q'$，且$S'P=4$。若SP与S'Q'交于点R，求SP、SQ、SR和QQ'的长度。

我的尝试 #

我知道椭圆的两个焦点到任意一条切线的垂线长度的乘积等于半短轴的平方。
设$S'Q'=x$，半短轴为$b$，那么有$2x^2=b2$。
另外，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长，设半长轴为$a$，则$SP+4=2a$。
现在不知道怎么把这些条件联系起来求解。

完整解答 #

咱们一步步来拆解这个问题，把零散的条件串起来：

1. 先明确椭圆的基本参数关系
   椭圆离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以焦点到中心的距离$c=\frac{a}{2}$。根据椭圆的基本关系$b^2=a2-c^2$，代入$c=\frac{a}{2}$可得：
   $$b^2=a2-\frac{a^{2}{4}=\frac{3a}2}{4}$$

2. 利用焦点到切线垂线的关键结论
   这里有个你可能没用到的重要结论：椭圆的一个焦点到P点切线的垂线长度，等于半短轴的平方除以另一个焦点到P点的距离。也就是说：
   $$SQ=\frac{b^2}{S'P}, \quad S'Q'=\frac{b^2}{SP}$$
   题目给出$SQ=2S'Q'$，把上面两个式子代入这个条件：
   $$\frac{b^{2}{S'P}=2\cdot\frac{b}2}{SP}$$
   两边约掉$b^2$（显然$b\neq0$），就能得到$SP=2S'P$。已知$S'P=4$，直接算出$SP=8$！这一步是打通所有条件的关键。

3. 求解椭圆的半长轴和半短轴
   根据椭圆的焦半径和性质：椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长$2a$，所以：
   $$SP+S'P=2a \implies 8+4=2a \implies a=6$$
   接着算出$c=\frac{a}{2}=3$，再代入$b^2=\frac{3a2}{4}$得：
   $$b^2=\frac{3\times36}{4}=27 \implies b=3\sqrt{3}$$
   现在可以求$SQ$和$S'Q'$了：
   $$SQ=\frac{b^2}{S'P}=\frac{27}{4}=6.75, \quad S'Q'=\frac{b^2}{SP}=\frac{27}{8}=3.375$$
   验证一下，确实满足$SQ=2S'Q'$，没问题。

4. 计算SR的长度
   我们用坐标法来求交点R的位置：

   • 设椭圆中心在原点，焦点$S(3,0)$，$S'(-3,0)$，椭圆方程为$\frac{x^{2}{36}+\frac{y}2}{27}=1$。
   • 先求P点坐标：利用焦半径公式$S'P=a+ex_p$，代入$S'P=4$、$a=6$、$e=\frac{1}{2}$，得：
     $$4=6+\frac{1}{2}x_p \implies x_p=-4$$
     把$x_p=-4$代入椭圆方程，算出$y_p=\sqrt{15}$（取正号，负号结果一致），所以$P(-4,\sqrt{15})$。
   • 求P点的切线方程：整理后得到$3x - y\sqrt{15} +27=0$。
   • 求S'到切线的垂足Q'：S'Q'的斜率为$-\frac{\sqrt{15}}{3}$，方程为$y=-\frac{\sqrt{15}}{3}(x+3)$。联立切线方程和S'Q'方程，解得Q'的坐标为$(-\frac{21}{4},\frac{3\sqrt{15}}{4})$。
   • 求SP的方程：S$(3,0)$到P$(-4,\sqrt{15})$的斜率为$-\frac{\sqrt{15}}{7}$，方程为$y=-\frac{\sqrt{15}}{7}(x-3)$。
   • 联立SP方程和S'Q'方程，解得交点R的坐标为$(-\frac{15}{2},\frac{3\sqrt{15}}{2})$。
   • 最后计算SR的长度：
     $$SR=\sqrt{(3+\frac{15}{2})^{2+(0-\frac{3\sqrt{15}}{2})}2}=\sqrt{(\frac{21}{2})^{2+(\frac{3\sqrt{15}}{2})}2}=\sqrt{\frac{441+135}{4}}=\sqrt{144}=12$$
     注意R点在SP的延长线上，所以SR长度大于SP，这是合理的。

5. 计算QQ'的长度
   先求S到切线的垂足Q：SQ的斜率为$-\frac{\sqrt{15}}{3}$，方程为$y=-\frac{\sqrt{15}}{3}(x-3)$。联立切线方程和SQ方程，解得Q的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{15}}{2})$。
   现在计算Q和Q'之间的距离：
   $$QQ'=\sqrt{(-\frac{3}{2}+\frac{21}{4})^{2+(\frac{3\sqrt{15}}{2}-\frac{3\sqrt{15}}{4})}2}=\sqrt{(\frac{15}{4})^{2+(\frac{3\sqrt{15}}{4})}2}=\sqrt{\frac{225+135}{16}}=\sqrt{\frac{360}{16}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

最终结果 #

• $SP=8$
• $SQ=\frac{27}{4}$
• $SR=12$
• $QQ'=\frac{3\sqrt{10}}{2}$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aarbee