嘿，这个老算术书里的迭代方法其实就是咱们现在熟知的**牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson Method）**在求n次根场景下的具体应用，算是牛顿法的经典特例啦。下面给你转换成现代的表达方式，再配个实际例子，一看就懂～

核心原理与现代迭代公式 #

假设我们要计算正数a的n次根（即求解xⁿ = a），迭代步骤如下：

• 第一步：先选取一个尽可能接近真实根的初始猜测值x₀（比如算³√10，选x₀=2就很合适，因为2³=8离10很近）；
• 第二步：使用以下迭代公式计算下一个近似值：
  x_{k+1} = \frac{(n-1)x_k + \frac{a}{x_k^{n-1}}}{n}
  这个公式是从牛顿法通用公式化简而来的，本质是通过不断修正前一次的猜测值，让它逐步逼近真实的n次根；
• 第三步：重复第二步，直到前后两次近似值的差小于你能接受的精度（比如小数点后4位），此时的近似值就是满足要求的n次根。

实际示例：计算³√10 #

我们用上面的方法算三次根号10（a=10，n=3）：

1. 初始猜测值：x₀=2；
2. 第一次迭代：
   x₁ = \frac{(3-1)*2 + \frac{10}{2^{3-1}}}{3} = \frac{4 + 2.5}{3} ≈ 2.1667；
3. 第二次迭代：
   x₂ = \frac{(3-1)*2.1667 + \frac{10}{2.1667^{2}}}{3} ≈ \frac{4.3334 + 2.1302}{3} ≈ 2.1545；
4. 第三次迭代：
   x₃ = \frac{(3-1)*2.1545 + \frac{10}{2.1545^{2}}}{3} ≈ \frac{4.309 + 2.1543}{3} ≈ 2.1544；
   此时x₃和x₂的差已经非常小，真实的³√10≈2.15443469，这个精度完全够用啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Felipe