这个问题问得非常好！你提出的用有限对称子集的累积分布函数来刻画“均匀性”的思路，正好切中了**一致分布（equidistribution）**这个核心概念，而问题的答案是明确的：是的，$F_N(x)$会在很严格的意义下收敛到$x$。

我来拆解一下这个结论的来龙去脉：

首先，先修正一下你给出的累积分布函数的笔误——积分变量应该是$t$（否则和上限$x$重复了），正确的形式应该是：
$$
F_N(x) = \frac{1}{2N+1}\int_0^x \sum_i 1_{t < x_i} dt
$$
这个定义本质上和经验分布函数（即$R_N$中小于等于$x$的元素数量占总元素数的比例）是等价的，只是用积分形式表示而已，两者的收敛性完全一致。

而解决这个问题的关键工具是Weyl一致分布定理，这个定理正好针对无理数倍数模1的分布问题：

如果$r$是无理数，那么序列${nr \mod 1 \mid n \in \mathbb{Z}}$是一致分布在$[0,1]$上的。

这里的“一致分布”就是你想刻画的“均匀性”的严格数学定义，它意味着：对于任意子区间$[a,b] \subset [0,1]$，$R_N$中落在$[a,b]$内的元素数量占总元素数$(2N+1)$的比例，会随着$N$趋向无穷而收敛到区间长度$b-a$。

从这个定理出发，可以直接推导出$F_N(x)$的收敛性：

• 逐点收敛：对于每个$x \in [0,1]$，$F_N(x)$都会趋向于$x$；
• 一致收敛：甚至可以做到全局的均匀逼近——对于任意小的$\varepsilon > 0$，当$N$足够大时，所有$x \in [0,1]$对应的$F_N(x)$与$x$的差的绝对值都小于$\varepsilon$，也就是说整个分布函数会紧贴着$y=x$这条直线趋近。

另外补充一点：你考虑对称集合$[-N,N]$的倍数是非常自然的选择，因为负整数的倍数${-nr \mod 1}$等价于${1 - nr \mod 1}$（由于$r$是无理数，$nr$永远不会是整数），所以对称集合的分布和非负整数倍数的分布是对称互补的，同样满足一致分布的性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew Yuan