嗨，我完全懂你的困扰——这个积分的原函数确实会涉及到指数积分Ei，手动算起来超麻烦，但其实根本不需要去积分！我们只需要把微积分基本定理（FTC）和链式法则结合起来，就能轻松求出导数，全程避开复杂的原函数~

下面一步步来拆解：

• 先明确核心思路：当变上限积分的上限不是x，而是x的函数时，我们需要用链式法则配合FTC第一部分。
  回忆FTC第一部分：如果$f(t)$是连续函数，$F(t)$是它的原函数（即$F'(t)=f(t)$），那么$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$。
• 设定中间变量：令$u(x) = \sqrt{x} = x^{{1/2}$，这样原积分就可以写成关于u的积分：$\int_1}{u(x)} \frac{e^{t2}}{4t} dt$。
• 应用链式法则求导：
  对x求导时，链式法则告诉我们：
  $$\frac{d}{dx}\int_1^{u(x)} f(t)dt = \left( \frac{d}{du}\int_1^u f(t)dt \right) \cdot \frac{du}{dx}$$
• 用FTC处理第一部分：
  根据FTC第一部分，$\frac{d}{du}\int_1^u \frac{e^{t2}}{4t}dt = \frac{e^{u2}}{4u}$——这一步直接把上限u代入被积函数就行，不用积分！
• 计算$\frac{du}{dx}$：
  因为$u = x^{1/2}$，所以它的导数是$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
• 把两部分相乘，再换回x的表达式：
  先把$u = \sqrt{x}$代入第一部分的结果：
  $$\frac{e^{u2}}{4u} = \frac{e^{(\sqrt{x})2}}{4\sqrt{x}} = \frac{e^x}{4\sqrt{x}}$$
  然后乘以$\frac{du}{dx}$：
  $$\frac{e^x}{4\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^x}{8x}$$

这样就得到最终结果啦，全程没有用到积分，完美避开了Ei函数😉

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wakaranai